2東北大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$a<2$ で二つの極小、(3) は $x<\beta$ で単調減少し $\beta$ で最小という条件。

$t=x+1,c=a-2$ とおくと
$$F(t)=f(t-1)=t^2(t^2+t+c),\qquad F'(t)=t(4t^2+3t+2c).$$
(1) $t^2+t+c=(t+1/2)^2+c-1/4$ だから負の値を取る条件は $c<1/4$。このとき $t=-1/2\ne0$ で実際に $F<0$ となる。従って $a<9/4$。

(2) $a<2$ のとき、$s=\sqrt{9-32c}>3$ とすると非零の臨界点は
$$r_- =\frac{-3-s}{8}<0<r_+=\frac{-3+s}{8}.$$
$F'$ の符号は順に負・正・負・正であり、この2点が極小点である。$4r^2+3r+2c=0$ を用いると $F(r)=-r^3(r+1/2)$ であるから
$$F(r_-)=-\frac{(s+3)^3(s-1)}{4096},\quad F(r_+)=-\frac{(s-3)^3(s+1)}{4096}.$$
差は $-s^3/256<0$。変数の平行移動は点の順序を保つので、$f(\alpha_1)<f(\alpha_2)$。

(3) $H(t)=4t^2+3t+2c$ の判別式は $9-32c$。

まず $c\leqq1/4$ のとき、小さい根 $r_-$ より左では $t<0,H(t)>0$ より $F'<0$。$c<0$ なら(2)より左の極小が大域最小。$c=0$ は $F'=t^2(4t+3)$ で $t=-3/4$ が最小。$0<c<1/4$ では極小候補が $r_-$ と0で、$F(-1/2)<0=F(0)$ なので左の極小が大域最小。$c=1/4$ では $F=t^2(t+1/2)^2$ だから左の最小点 $-1/2$ を選べる。全て条件を満たす。

$1/4<c<9/32$ なら $t^2+t+c>0$ で唯一の最小点は0。しかし $H$ は負の異なる2根を持ち、その間で $t<0,H<0$ より $F'>0$。0まで単調減少せず不適。

$c\geqq9/32$ なら $H\geqq0$ で $t<0$ では $F'\leqq0$、$t>0$ では $F'\geqq0$。$t=0$ で最小となり条件を満たす。判別式0の水平接線は孤立した一点で、増減は逆転しない。
以上から $c\leqq1/4$ または $c\geqq9/32$、すなわち
$$\boxed{a\leqq\frac94\quad\text{または}\quad a\geqq\frac{73}{32}}.$$