6東北大学 2022年 数学 第6問解答・解説

解答
円柱の底面を $z=0$、上面を $z=\sqrt3$ とし、軸を $z$ 軸にとる。球の中心は原点である。高さ $z$ の水平断面で、球の円板の半径の二乗は $r^2-z^2$、円柱の円板の半径の二乗は $1$ だから、共通部分の断面積は
$$A(z)=\pi\min\{1,r^2-z^2\}\quad(0\leqq z\leqq\min\{r,\sqrt3\})$$
である。$r>1$ では両断面の半径が等しくなる高さを $a=\sqrt{r^2-1}$ とおく。

$0\leqq r\leqq1$:
$$V(r)=\pi\int_0^r(r^2-z^2)\,dz=\frac{2\pi r^3}{3}.$$

$1<r\leqq\sqrt3$: $a<r\leqq\sqrt3$ より
$$\begin{aligned} V(r)&=\pi\left(a+\int_a^r(r^2-z^2)\,dz\right)\\ &=\frac{2\pi}{3}\left(r^3-a^3\right) =\frac{2\pi}{3}\left(r^3-(r^2-1)^{3/2}\right). \end{aligned}$$$$V(r)=\pi \left(a+{\int }_a^r(r^2-z^2)dz\right)$$$$=\frac{2\pi }{3}\left(r^3-a^3\right)=\frac{2\pi }{3}\left(r^3-(r^2-1{)}^{3/2}\right).$$

$\sqrt3<r<2$: $a<\sqrt3<r$ なので
$$\begin{aligned} V(r)&=\pi\left(a+\int_a^{\sqrt3}(r^2-z^2)\,dz\right)\\ &=\pi\left(\sqrt3(r^2-1)-\frac23a^3\right)\\ &=\pi\left(\sqrt3(r^2-1)-\frac23(r^2-1)^{3/2}\right). \end{aligned}$$$$V(r)=\pi \left(a+{\int }_a^{\sqrt{3}}(r^2-z^2)dz\right)$$$$=\pi \left(\sqrt{3}(r^2-1)-\frac{2}{3}{a}^3\right)$$$$=\pi \left(\sqrt{3}(r^2-1)-\frac{2}{3}(r^2-1{)}^{3/2}\right).$$

$r\geqq2$: 円柱内では $\rho^2+z^2\leqq1+3=4$ だから、球が円柱全体を含む。よって $V(r)=\pi\sqrt3$。

以上より
$$V(r)=\begin{cases} \dfrac{2\pi r^3}{3},&0\leqq r\leqq1,\\[3pt] \dfrac{2\pi}{3}\left(r^3-(r^2-1)^{3/2}\right),&1<r\leqq\sqrt3,\\[3pt] \pi\left(\sqrt3(r^2-1)-\dfrac23(r^2-1)^{3/2}\right),&\sqrt3<r<2,\\[3pt] \pi\sqrt3,&r\geqq2. \end{cases}$$
隣接する式は $r=1,\sqrt3,2$ で一致する。