V日本大学 2025年 数学 第V問解答・解説

$a$ を正の定数とする。$O$ を原点とする座標平面上に直線 $\ell:y=(\sqrt{3}-1)x$ があり、直線 $x=a$ と $x$ 軸、$\ell$ の交点をそれぞれ $A_{0},B_{0}$ とする。線分 $OA_{0}$ 上に点 $A_{1}$、線分 $OB_{0}$ 上に点 $B_{1}$、線分 $A_{0}B_{0}$ 上に点 $C_{1}$ を四角形 $A_{0}A_{1}B_{1}C_{1}$ が正方形となるようにとる。同様に、負でない整数 $k$ を用いて、線分 $OA_{k}$ 上に点 $A_{k+1}$、線分 $OB_{k}$ 上に点 $B_{k+1}$、線分 $A_{k}B_{k}$ 上に点 $C_{k+1}$ を四角形 $A_{k}A_{k+1}B_{k+1}C_{k+1}$ が正方形となるようにとる。正方形 $A_{k}A_{k+1}B_{k+1}C_{k+1}$ の面積を $S_{k}$ とし、$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}S_{k}=T_{n}$ とする。

(1) 点 $A_{1}$ の $x$ 座標は $\dfrac{\sqrt{\boxed{37}}}{\boxed{38}}a$ である。

(2) $\dfrac{T_{7}}{T_{3}}=\dfrac{\boxed{39}\boxed{40}}{\boxed{41}\boxed{42}}$ である。

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_{n}=1$ となるのは $a=\dfrac{\sqrt{\boxed{43}}+\sqrt{\boxed{44}}}{\boxed{45}}$ のときである（ただし、$\boxed{43}>\boxed{44}$ とする）。