3藤田医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

藤田医科大学 2024年度 一般前期 数学 問題3

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,1)$ だから、媒介変数表示から
$$P=(x,y)=(t^{2}+2t+st,\ st),\qquad 0\leqq s\leqq1,\quad 0\leqq t\leqq1.$$
従って $y=st$ である。固定した $t$ では $0\leqq y\leqq t$、また $x=t^{2}+2t+y$。固定した $y$ では $y\leqq t\leqq1$ となり、$t^{2}+2t$ はこの範囲で増加するため
$$y^{2}+3y\leqq x\leqq y+3,\qquad 0\leqq y\leqq1\qquad\cdots\cdots\text{①}$$
が得られる。逆に①を満たす点には、連続かつ増加する関数 $t^{2}+2t$ の値域から $y\leqq t\leqq1$ を満たす $t$ が対応し、$t>0$ のとき $s=\dfrac{y}{t}$ とおけば $0\leqq s\leqq1$ を満たす（$t=0$ の場合は原点となる）。このように $s$ を選べるので、この条件は必要十分である。

(1)

領域 $D$ は
$$\boxed{D=\{(x,y)\mid 0\leqq y\leqq1,\ y^{2}+3y\leqq x\leqq y+3\}}$$
である。境界は、底辺 $y=0$ の線分（$(0,0)$ から $(3,0)$ まで）、直線 $x=y+3$ 上の線分（$(3,0)$ から $(4,1)$ まで）、および放物線 $x=y^{2}+3y$ 上の弧（$(0,0)$ から $(4,1)$ まで）である。これらに囲まれた部分を図示すればよい。

(2)

各高さ $y$ での横幅は $(y+3)-(y^{2}+3y)=3-2y-y^{2}$ であるから、面積 $S$ は
$$S=\int_{0}^{1}(3-2y-y^{2})\,dy=\left[3y-y^{2}-\dfrac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\boxed{\dfrac{5}{3}}.$$

(3)

$D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V$ とする。放物線の境界を $y$ について解くと
$$y=Y(x)=\dfrac{\sqrt{9+4x}-3}{2},\qquad 0\leqq x\leqq4.$$
$x$ を固定した断面では、$0\leqq x\leqq3$ で内半径 0、外半径 $Y(x)$。$3\leqq x\leqq4$ では不等式 $x\leqq y+3$ より内半径 $x-3$、外半径 $Y(x)$ となる。従って
$$V=\pi\int_{0}^{4}Y(x)^{2}\,dx-\pi\int_{3}^{4}(x-3)^{2}\,dx.$$
第1積分では $x=y^{2}+3y$、$dx=(2y+3)\,dy$ と置換でき、$x=0$ から 4 に対し $y=0$ から 1 である。したがって
$$\int_{0}^{4}Y(x)^{2}\,dx=\int_{0}^{1}y^{2}(2y+3)\,dy=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}, \qquad \int_{3}^{4}(x-3)^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}.$$
ゆえに
$$\boxed{V=\pi\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{7\pi}{6}}.$$