I東北医科薬科大学 2024年 数学 第I問解答・解説

三次関数の導関数の根を変曲点を中心としたr±dと表し、変曲点と極小値の高さからdを決める。平行移動u=x−rで面積を積分し、得た極値座標から直線条件を処理する。

(1-1)
$f'(x)=3x^2+2ax+b$ の2つの根が極値をとる $p,q$ である。最高次係数が正なので、導関数の符号は小さい根の左から $+,-,+$ と変わり、小さい根が極大点、大きい根が極小点となる。したがって $q<p$ であり、解と係数の関係から $p+q=-\dfrac{2a}{3}$ である。また $f''(x)=6x+2a$ より変曲点の $x$ 座標は $r=-\dfrac{a}{3}=\dfrac{p+q}{2}$。

$d=\dfrac{p-q}{2}>0$ とおくと $p=r+d,\ q=r-d$ であり、
$$f'(x)=3\bigl((x-r)^2-d^2\bigr).$$
$u=x-r$ とおいて積分し、$f(r)=3$ を用いると
$$f(x)=3+u^3-3d^2u.$$
極小点 $p$ では $u=d$ だから、
$$1=f(p)=3+d^3-3d^3=3-2d^3.$$
$d>0$ より $d=1$。ゆえに $q=r-1$ で、
$$q=\frac{p+q}{2}-1\quad\text{より}\quad q=-\frac{2a}{3}-p=-\frac{2a+3p}{3}.$$
また $u=-1$ を代入して $f(q)=3-1+3=5$。

(1-2)
$u=x-r$ とすれば
$$f(x)-1=u^3-3u+2=(u-1)^2(u+2).$$
この値は $-2\leqq u\leqq1$ で非負であり、交点は $u=-2$ と $u=1$（後者は接点）である。したがって囲まれた部分の面積は
$$\int_{r-2}^{r+1}\bigl(f(x)-1\bigr)\,dx =\int_{-2}^{1}(u^3-3u+2)\,du =\left[\frac{u^4}{4}-\frac{3u^2}{2}+2u\right]_{-2}^{1} =\frac{27}{4}.$$

(2-1), (2-2)
$p=r+1,\ q=r-1$ および $f(p)=1,\ f(q)=5$ より、直線 $\ell$ の傾きは
$$\frac{5-1}{(r-1)-(r+1)}=-2.$$
点 $(p,1)$ を通るので $\ell$ は $y=-2x+2p+1$。これが $(3,-9)$ を通る条件から
$$-9=-6+2p+1\quad\text{より}\quad p=-2.$$
$p=r+1$ より $r=-3$、したがって $a=-3r=9$。