2弘前大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)
$$f'(x)=3x^2+2ax+3$$
である。$f(x)$ が極大・極小をもつのは、$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつときに限る。実際、このとき上に開く二次式 $f'(x)$ の符号は2根の間だけ負になる。一方、重解のときは符号が変わらず、実数解がないときは極値をもたない。
判別式を計算すると
$$D=(2a)^2-4\cdot3\cdot3=4(a^2-9)$$
だから、$D>0$ より
$$\boxed{a<-3\text{ または }a>3}.$$

(2)
$f'(x)=0$ の小さい方の解を $\alpha$、大きい方を $\beta$ とする。$f'(x)$ は2根の間で負になるので、$x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小となる。解と係数の関係から
$$\alpha+\beta=-\frac{2a}{3},\qquad \alpha\beta=1.$$
したがって
$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta =\frac{4a^2}{9}-2,$$
$$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) =-\frac{8a^3}{27}+2a.$$
よって
$$\begin{aligned} f(\alpha)+f(\beta) &=\alpha^3+\beta^3+a(\alpha^2+\beta^2)+3(\alpha+\beta)\\ &=\frac{4a^3}{27}-2a. \end{aligned}$$$$f(\alpha )+f(\beta )={\alpha }^3+{\beta }^3+a({\alpha }^2+{\beta }^2)+3(\alpha +\beta )$$$$=\frac{4a^3}{27}-2a.$$
ゆえに線分 $AB$ の中点は
$$\boxed{P=\left(-\frac a3,\frac{2a^3}{27}-a\right)}.$$

(3)
点 $P$ の座標を $(X,Y)$ とおくと、(2)より
$$X=-\frac a3,\qquad Y=\frac{2a^3}{27}-a.$$
(1)の範囲 $|a|>3$ は $|X|>1$ に移る。また $a=-3X$ を $Y$ に代入すると
$$Y=\frac{2(-3X)^3}{27}+3X=3X-2X^3.$$
したがって軌跡は
$$\boxed{Y=3X-2X^3\quad(X<-1\text{ または }X>1)}.$$
端点に対応する $X=-1,1$ は条件 $|X|>1$ に入らないので、$(-1,-1)$ と $(1,1)$ は含まれない。実際、許された範囲では
$$\frac{dY}{dX}=3-6X^2<0,$$
すなわち両方の枝は右下がりである。実際の軌跡を下図に示す。