2東京慈恵会医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$n$ は自然数、$a>0$ であり、
$$f(x)=x+\frac1n\int_0^x f(t)\,dt,\qquad g(x)=ae^{-x/n}+a$$
とする。

(1) $h'(x)$ と $h(x)$

まず $f(0)=0$ である。積分の微分より
$$f'(x)=1+\frac{f(x)}n.$$
$h(x)=e^{-x/n}f(x)$ とおけば、積の微分を用いて
$$h'(x)=e^{-x/n}\left(f'(x)-\frac{f(x)}n\right)=e^{-x/n}.$$
さらに $h(0)=0$ なので、これを積分して
$$\boxed{h'(x)=e^{-x/n}},\qquad \boxed{h(x)=n\left(1-e^{-x/n}\right)}.$$
したがって
$$f(x)=n\left(e^{x/n}-1\right),\qquad f'(x)=e^{x/n}.$$

(2) $a$ の値

共通点における接線の傾きの積は
$$f'(x)g'(x) =e^{x/n}\left(-\frac an e^{-x/n}\right) =-\frac an.$$
接線が直交する必要十分条件は傾きの積が $-1$ となることであるから、
$$-\frac an=-1,\qquad\boxed{a=n}.$$
このとき共通点の存在も確認できる。$u=e^{x/n}>0$ とおいて $f(x)=g(x)$ とすると
$$n(u-1)=n\left(\frac1u+1\right) \quad\text{すなわち}\quad u^2-2u-1=0.$$
正の解は $u=1+\sqrt2$ だけなので、共通点はただ1つで、
$$X=n\log(1+\sqrt2)$$
を $x$ 座標にもつ。

(3) 面積と極限

$U=1+\sqrt2$ とする。$0\leqq x\leqq X$ では $1\leqq u=e^{x/n}\leqq U$ である。$u-1/u$ は $u>0$ で増加し、$U-1/U=2$ だから、
$$g(x)-f(x)=n\left(2+\frac1u-u\right)\geqq0.$$
従って求める面積は
$$\begin{aligned} S_n &=\int_0^X(g(x)-f(x))\,dx\\ &=\int_0^X n\left(2+e^{-x/n}-e^{x/n}\right)\,dx\\ &=\left[2nx-n^2e^{-x/n}-n^2e^{x/n}\right]_0^X\\ &=n^2\left(2\log U-U-\frac1U+2\right). \end{aligned}$$$$S_n={\int }_0^X(g(x)-f(x))dx$$$$={\int }_0^{X}n\left(2+e^{-x/n}-e^{x/n}\right)dx$$$$={\left[2nx-n^2{e}^{-x/n}-n^2{e}^{x/n}\right]}_0^X$$$$=n^2\left(2\log U-U-\frac{1}{U}+2\right).$$
$U-1/U=2$ かつ $U+1/U>0$ より
$$\left(U+\frac1U\right)^2 =\left(U-\frac1U\right)^2+4=8, \qquad U+\frac1U=2\sqrt2.$$
ゆえに
$$S_n=2n^2\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right).$$
したがって
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{S_1+\cdots+S_n}{n^3} &=2\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right) \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2\\ &=2\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right)\cdot\frac13\\ &=\boxed{\frac23\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right)}. \end{aligned}$$$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_1+\cdots +S_n}{n^3}=2\left(1+\log (1+\sqrt{2})-\sqrt{2}\right)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2$$$$=2\left(1+\log (1+\sqrt{2})-\sqrt{2}\right)\cdot \frac{1}{3}$$$$=\boxed{\frac{2}{3}\left(1+\log (1+\sqrt{2})-\sqrt{2}\right)}.$$