III日本医科大学 2024年 数学 第III問解答・解説

(1)

部分積分法を用いると
$$\displaystyle\int e^{-ax}\sin x\,dx =\dfrac{e^{-ax}(-a\sin x-\cos x)}{a^2+1}.$$
したがって
$$K(a)=\left[\dfrac{e^{-ax}(-a\sin x-\cos x)}{a^2+1}\right]_0^\pi =\dfrac{1+e^{-a\pi}}{a^2+1}.$$

(2)

$t=\dfrac{b}{n}$ とみれば
$$n\left(1-e^{-b/n}\right) =b\,\dfrac{1-e^{-b/n}}{\dfrac{b}{n}}\longrightarrow b$$
である。ここで $\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{1-e^{-t}}{t}=1$ を用いた。

(3)

$x=n\pi+t$ と置換すると
$$I_n=e^{-n\pi}\displaystyle\int_0^\pi e^{-t}|\sin(nt)|\,dt.$$
さらに各 $j=0,1,\cdots,n-1$ について区間 $\dfrac{j\pi}{n}\leqq t\leqq\dfrac{(j+1)\pi}{n}$ で $t=\dfrac{j\pi}{n}+\dfrac{u}{n}$ と置換する。このとき $0\leqq u\leqq\pi$、$|\sin(nt)|=\sin u$ であり、
$$\displaystyle\int_{\dfrac{j\pi}{n}}^{\dfrac{(j+1)\pi}{n}}e^{-t}|\sin(nt)|\,dt =\dfrac1n e^{-j\pi/n}K\left(\dfrac1n\right).$$
従って等比数列の和と問1の結果から
$$\begin{aligned} I_n &=\dfrac{e^{-n\pi}}{n}K\left(\dfrac1n\right) \dfrac{1-e^{-\pi}}{1-e^{-\pi/n}}\\ &=\dfrac{e^{-n\pi}(1+e^{-\pi/n})(1-e^{-\pi})} {n(1+n^{-2})(1-e^{-\pi/n})}. \end{aligned}$$$$I_n=\frac{e^{-n\pi }}{n}K\left(\frac{1}{n}\right)\frac{1-e^{-\pi }}{1-e^{-\pi /n}}$$$$=\frac{e^{-n\pi }(1+e^{-\pi /n})(1-e^{-\pi })}{n(1+n^{-2})(1-e^{-\pi /n})}.$$

(4)

$x=n\pi+t$ と置換すると
$$e^{n\pi}J_n =\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{|\sin(nt)|}{e^t+e^{-n\pi}|\cos(nt)|}\,dt.$$
区間を $n$ 等分し、各区間で $t=\dfrac{j\pi}{n}+\dfrac{u}{n}$ と置換すると
$$e^{n\pi}J_n =\dfrac1n\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}e^{-\pi j/n} \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{\sin u}{e^{u/n}+e^{-n\pi-\pi j/n}|\cos u|}\,du.$$
内側の分母はすべての $j,u$ について
$$1\leqq e^{u/n}+e^{-n\pi-\pi j/n}|\cos u| \leqq e^{\pi/n}+e^{-n\pi}$$
を満たす。そのため内側の積分は $n\to\infty$ で $2=\displaystyle\int_0^\pi\sin u\,du$ に一様に収束する。従ってリーマン和の極限から
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{n\pi}J_n =2\displaystyle\int_0^1e^{-\pi s}\,ds =\dfrac{2(1-e^{-\pi})}{\pi}.$$