2東京大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)では微分で対数不等式を示し、(2)ではその不等式を冪根と対数に適用して被積分関数を上下から評価し、積分後にはさみうちの原理を用いる。

(1) $\displaystyle F(x)=x-1-\log x$ とおくと
$$\displaystyle F'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.$$
したがって $\displaystyle F$ は $\displaystyle 0<x<1$ で減少し、$\displaystyle x>1$ で増加するから、最小値は $\displaystyle F(1)=0$ である。よって $\displaystyle \log x\leqq x-1$（$\displaystyle x>0$）。

(2) $\displaystyle 1\leqq x\leqq2$ とし、$\displaystyle a=\log x,\ t=x^{\frac{1}{n}},\ u=\frac{t-1}{2}$ とおく。このとき $\displaystyle a\geqq0,\ t\geqq1$ である。(1)を $\displaystyle t$ と $\displaystyle \frac{1}{t}$ に適用し、$\displaystyle \log t=\frac{a}{n}$ を用いると
$$\displaystyle \frac an\leqq t-1\leqq\frac{ta}{n}, \qquad \frac{a}{2n}\leqq u\leqq\frac{ta}{2n}.$$
また(1)を $\displaystyle 1+u$ と $\displaystyle \frac{1}{1+u}$ に適用すると
$$\displaystyle \frac{u}{1+u}\leqq\log(1+u)\leqq u.$$
$\displaystyle n$ に依らず $\displaystyle t\leqq t_n=2^{\frac{1}{n}}$ であり、$\displaystyle u\leqq c_n=\frac{t_n\log2}{2n}$ だから
$$\displaystyle \frac{\log x}{2(1+c_n)} \leqq n\log\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}2\right) \leqq\frac{t_n\log x}{2}.$$
ここで $\displaystyle t_n\leqq2$ かつ、(1)を $\displaystyle t_n^{-1}$ に適用すると
$$\displaystyle 0\leqq t_n-1\leqq t_n\log t_n =\frac{t_n\log2}{n}\leqq\frac{2\log2}{n}.$$
よって $\displaystyle t_n\to1,\ c_n\to0$。上の不等式を $\displaystyle 1$ から $\displaystyle 2$ まで積分すれば、はさみうちにより
$$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}n\int_1^2\log\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}2\right)\,dx =\frac12\int_1^2\log x\,dx.$$
さらに
$$\displaystyle \int_1^2\log x\,dx=[x\log x-x]_1^2=2\log2-1,$$
したがって求める極限は $\displaystyle \log2-\frac12$ である。