3信州大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1)

点 P の位置ベクトルを $\vec{x}$、点 A、B、C の位置ベクトルを $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ とする。距離の二乗を展開し、$\vec{x}$ について平方完成すると、
$$\begin{aligned} \mathrm{PA}^{2}+2\mathrm{PB}^{2}+3\mathrm{PC}^{2} &=|\vec{x}-\vec{a}|^{2}+2|\vec{x}-\vec{b}|^{2}+3|\vec{x}-\vec{c}|^{2}\\ &=6\left|\vec{x}-\dfrac{\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}}{6}\right|^{2} +|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}+3|\vec{c}|^{2}-\dfrac{|\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}|^{2}}{6}. \end{aligned}$$$${\mathrm{PA}}^2+2{\mathrm{PB}}^2+3{\mathrm{PC}}^2=|\vec{x}-\vec{a}{|}^2+2|\vec{x}-\vec{b}{|}^2+3|\vec{x}-\vec{c}{|}^2$$$$=6{\left|\vec{x}-\frac{\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}}{6}\right|}^2+|\vec{a}{|}^2+2|\vec{b}{|}^2+3|\vec{c}{|}^2-\frac{|\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}{|}^2}{6}.$$
平方完成した二乗項以外はすべて P の位置によらない定数である。したがって、条件式が表す円の中心の位置ベクトルは $\dfrac{\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}}{6}$ である。問題ではその中心が O なので、O を原点とすると
$$\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0},\qquad \vec{c}=-\dfrac{1}{3}\vec{a}-\dfrac{2}{3}\vec{b}.$$
よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}.$$

(2)

$S_{1}$ と $S_{2}$ は底辺 $\mathrm{OB}$ を共通にもつ。上の式で $-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ は底辺 $\mathrm{OB}$ に平行だから、C から OB への高さの大きさは、A から OB への高さの $\dfrac{1}{3}$ 倍である。したがって $S_{2}=\dfrac{1}{3}S_{1}$。同様に $S_{1}$ と $S_{3}$ を底辺 $\mathrm{OA}$ に着目して比べると、C から OA への高さの大きさは B から OA への高さの $\dfrac{2}{3}$ 倍なので、$S_{3}=\dfrac{2}{3}S_{1}$ である。ゆえに
$$S_{1}:S_{2}:S_{3}=1:\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3}=3:1:2.$$