1信州大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) 左辺から右辺を引くと
$$ap+bq-(aq+bp)=ap-aq+bq-bp=(b-a)(q-p).$$
$a\leqq b$ かつ $p\leqq q$ だから $b-a\geqq0$、$q-p\geqq0$。よって
$$ap+bq-(aq+bp)=(b-a)(q-p)\geqq0,$$
すなわち $ap+bq\geqq aq+bp$。

(2) 右辺から左辺を引いて整理すると
$$\begin{aligned} &3(ap+bq+cr)-(a+b+c)(p+q+r)\\ &\quad=(b-a)(q-p)+(c-b)(r-q)+(c-a)(r-p). \end{aligned}$$$$3(ap+bq+cr)-(a+b+c)(p+q+r)$$$$=(b-a)(q-p)+(c-b)(r-q)+(c-a)(r-p).$$
実際、右辺を展開すれば上の左辺になる。条件 $a\leqq b\leqq c$ から $b-a\geqq0$、$c-b\geqq0$、$c-a\geqq0$ であり、$p\leqq q\leqq r$ から $q-p\geqq0$、$r-q\geqq0$、$r-p\geqq0$。従って右辺は3つの非負数の和なので
$$3(ap+bq+cr)-(a+b+c)(p+q+r)\geqq0.$$
これを移項すれば
$$(a+b+c)(p+q+r)\leqq3(ap+bq+cr)$$
を得る。