1新潟大学 2025年 数学 第1問解答・解説

座標平面上の原点を $\mathrm{O}$ とし、1点 $\mathrm{A}(a,\,-1)$ をとる。ただし、$a>0$ とする。また、放物線 $y=x^{2}$ 上に点 $\mathrm{B}$ をとる。ただし、$\mathrm{B}$ は原点以外の点とする。次の問いに答えよ。

(1) ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が垂直になるときの点 $\mathrm{B}$ の座標を $a$ を用いて表せ。また、そのときの三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $S$ を $a$ を用いて表せ。

(2) 内積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が最大になるときの点 $\mathrm{B}$ の座標を $a$ を用いて表せ。また、そのときの三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $T$ を $a$ を用いて表せ。

(3) $S$ と $T$ は、(1) と (2) で求めたものとする。$S=3T$ となるときの点 $\mathrm{A}$ の座標を求めよ。