1熊本大学 2025年 数学 第1問解答・解説

Aを原点とする位置ベクトルを用い、平方ベクトルの非負性で不等式を示し、等号条件から平行四辺形を特定する。

(問 1) Aを原点とし、$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\;\overrightarrow{AD}=\vec{v},\;\overrightarrow{AC}=\vec{w}$とおく。このとき、$\overrightarrow{BC}=\vec{w}-\vec{u},\;\overrightarrow{CD}=\vec{v}-\vec{w},\;\overrightarrow{DA}=-\vec{v},\;\overrightarrow{BD}=\vec{v}-\vec{u}$である。したがって、求める左辺と右辺の差は
$$\begin{aligned} &|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2+|\overrightarrow{CD}|^2+|\overrightarrow{DA}|^2-|\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2\\ &=|\vec{u}|^2+|\vec{w}-\vec{u}|^2+|\vec{v}-\vec{w}|^2+|\vec{v}|^2-|\vec{w}|^2-|\vec{v}-\vec{u}|^2\\ &=|\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}|^2\geqq 0.\end{aligned}$$$$|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2+|\overrightarrow{CD}{|}^2+|\overrightarrow{DA}{|}^2-|\overrightarrow{AC}{|}^2-|\overrightarrow{BD}{|}^2$$$$=|\vec{u}{|}^2+|\vec{w}-\vec{u}{|}^2+|\vec{v}-\vec{w}{|}^2+|\vec{v}{|}^2-|\vec{w}{|}^2-|\vec{v}-\vec{u}{|}^2$$$$=|\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}{|}^2\geqq 0.$$よって不等式が成り立つ。等号が成り立つのは$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$、すなわち$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$のときに限る。このとき$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$だから、$ABCD$は平行四辺形である。

(問 2) 等号成立時、$ABCD$は辺$AB=p,\;AD=q$、その間の角が$\theta$である平行四辺形である。$0<\theta<\pi$より面積は正であり、三角形$ABD$の面積の2倍として$$2\cdot\frac12 pq\sin\theta=pq\sin\theta$$を得る。