7信州大学 2025年 数学 第7問解答・解説

実数全体を定義域にもつ $t$ の関数 $p$ は微分可能で、すべての $t$ に対し $\dfrac{dp}{dt}>0$ を満たすとする。また、$p$ の値域は実数全体であるとする。座標平面上において、曲線 $C\colon y=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ 上を運動する点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における座標は $\left(p,\ \dfrac{e^{p}+e^{-p}}{2}\right)$ であり、点 $\mathrm{P}$ の速度 $\vec{u}$ はすべての $t$ に対し $|\vec{u}|=2$ を満たすとする。座標平面上を運動する点 $\mathrm{Q}$ は、時刻 $t$ において、曲線 $C$ の点 $\mathrm{P}$ における法線の $y>\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ を満たす部分にあり、$\mathrm{PQ}=1$ であるとする。$t$ が実数全体を動くとき、以下の問いに答えよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。

(1) 点 $\mathrm{Q}$ の座標を $p$ を用いて表せ。

(2) 点 $\mathrm{Q}$ の速度を $\vec{v}$ とするとき、$|\vec{v}|$ のとり得る値の範囲を求めよ。