3山形大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$\vec{b}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{c}=\overrightarrow{AC}$ とおく。すると $|\vec{b}|=5$、$|\vec{c}|=8$、$|\vec{c}-\vec{b}|=BC=7$。

(1) 内積の公式（余弦定理と同じ展開）から
$$49=|\vec{c}-\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c} =64+25-2\vec{b}\cdot\vec{c},$$
従って $\vec{b}\cdot\vec{c}=20$。

(2) $\cos A=(\vec{b}\cdot\vec{c})/(|\vec{b}||\vec{c}|)=1/2$。三角形の内角なので $\sin A=\sqrt3/2$ であり、
$$[ABC]=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3.$$
半周長は $(5+7+8)/2=10$ だから、面積 $=$ 内接円半径 $\times$ 半周長より半径は $\sqrt3$。

(3) 角の二等分線の定理から $AD:DC=AB:BC=5:7$、$AE:EB=AC:CB=8:7$。よって
$$\overrightarrow{AD}=\frac5{12}\vec{c},\qquad \overrightarrow{AE}=\frac8{15}\vec{b}.$$

(4) $F$ は直線 $BD$ 上だから、ある実数 $t$ を使って
$$\overrightarrow{AF}=(1-t)\vec{b}+\frac{5t}{12}\vec{c}.$$
また $AF\perp BC$ で、$BC$ の方向ベクトルは $\vec{c}-\vec{b}$。従って
$$\vec{b}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=-5,\qquad \vec{c}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=44$$
を使うと
$$-5(1-t)+\frac{55t}{3}=0,\qquad t=\frac3{14}.$$
これを代入して $\overrightarrow{AF}=\frac{11}{14}\vec{b}+\frac5{56}\vec{c}$。

(5) $I$ は直線 $BD$ と $CE$ の交点でもある。$I$ が直線 $BD$ 上にあることから $\overrightarrow{AI}$ を
$$(1-t)\vec{b}+\frac{5t}{12}\vec{c}$$
と表し、$I$ が直線 $CE$ 上にあることから同じ $\overrightarrow{AI}$ を
$$\frac{8u}{15}\vec{b}+(1-u)\vec{c}$$
と表すと、係数比較で $t=3/5,u=3/4$。従って
$$\overrightarrow{AI}=\frac25\vec{b}+\frac14\vec{c} =\frac1{20}(8\vec{b}+5\vec{c}).$$
また
$$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\vec{c} =\frac{44\vec{b}-51\vec{c}}{56}.$$
PはAI上かつCF上なので、ある実数 $v,w$ について
$$\overrightarrow{AP}=v(8\vec{b}+5\vec{c}) =\vec{c}+\frac{w}{56}(44\vec{b}-51\vec{c}).$$
係数比較すると $8v=11w/14$、$5v=1-51w/56$。これを解いて $v=11/157,w=112/157$。よって
$$\overrightarrow{AP}=\frac{88}{157}\vec{b}+\frac{55}{157}\vec{c}.$$