6信州大学 2025年 数学 第6問解答・解説

交点は $|\sin x|=-\cos2x$ より $|\sin x|=1$、すなわち $\sin x=\pm1$（$x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}$）となり、閉領域の範囲は $\pi/2\leqq x\leqq3\pi/2$ である。面積は
$$\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(\,|\sin x|+\cos2x\,)\,dx=2.$$

回転軸は $x$ 軸である。断面は、両端側の $\pi/2\leqq x\leqq3\pi/4$ と $5\pi/4\leqq x\leqq3\pi/2$ の範囲では二曲線がともに軸の同じ側にあるため円環となる。中央で下側の曲線が軸を横切る区間では、回転断面は円板である。外半径は $|\sin x|$ と $|\cos2x|$ の大きい方で切り替わり、その交点は $|\sin x|=|\cos2x|$ から $x=5\pi/6,7\pi/6$ となる。左右対称性を使うと体積は
$$V=\pi\left\{2\int_{\pi/2}^{3\pi/4}(\sin^2x-\cos^22x)\,dx +2\int_{3\pi/4}^{5\pi/6}\sin^2x\,dx +\int_{5\pi/6}^{7\pi/6}\cos^22x\,dx\right\}.$$
ここで
$$\int_{\pi/2}^{3\pi/4}(\sin^2x-\cos^22x)\,dx=\frac14, \quad \int_{3\pi/4}^{5\pi/6}\sin^2x\,dx=\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac14, \quad \int_{5\pi/6}^{7\pi/6}\cos^22x\,dx=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}.$$
したがって
$$\boxed{V=\frac{\pi^2}{4}+\frac{3\sqrt3\,\pi}{8}}.$$