2京都府立医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$\vec{a}=\overrightarrow{CA},\ \vec{b}=\overrightarrow{CB},\ \vec{d}=\overrightarrow{CD}$ とおくと、$|\vec{a}|^2=5$, $|\vec{b}|^2=4$, $|\vec{d}|^2=x^2$ である。また、$\overrightarrow{DA}=\vec{a}-\vec{d}$, $\overrightarrow{DB}=\vec{b}-\vec{d}$ である。

(1) 条件 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ を展開すると
$$(\vec{a}-\vec{d})\cdot(\vec{b}-\vec{d})=\vec{a}\cdot\vec{b} \quad\text{したがって}\quad \vec{a}\cdot\vec{d}+\vec{b}\cdot\vec{d}=x^2.$$
一方、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ より $(\vec{b}-\vec{a})\cdot\vec{d}=0$、したがって $\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{d}$ である。よって両方とも $x^2/2$ となるから
$$|\overrightarrow{DA}|^2=|\vec{a}-\vec{d}|^2=5+x^2-2\frac{x^2}{2}=5, \qquad |\overrightarrow{DB}|^2=|\vec{b}-\vec{d}|^2=4+x^2-2\frac{x^2}{2}=4.$$
従って $|\overrightarrow{DA}|=\sqrt5$, $|\overrightarrow{DB}|=2$。

(2) $\triangle BCD$ の辺の長さは $BC=BD=2$, $CD=x$ である。(1)の結果と三角形の成立条件から $0<x<4$ を得る。逆に、$0<x<4$ を任意にとり、互いに直交する単位ベクトル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ を用いて
$$\vec{d}=x\vec{e}_3,\quad \vec{a}=\sqrt{5-\frac{x^2}{4}}\,\vec{e}_1+\frac{x}{2}\vec{e}_3,\quad \vec{b}=\sqrt{4-\frac{x^2}{4}}\,\vec{e}_2+\frac{x}{2}\vec{e}_3$$
と定める。これらは $|\vec{a}|=\sqrt5$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{d}|=x$ を満たし、$\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{d}=x^2/2$, $\vec{a}\cdot\vec{b}=x^2/4$ である。従って二つの内積条件が成り立つ。また、$\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ は一次独立であり、4点は同一平面上にない。よって範囲内の各 $x$ が実現する。

(3) $\vec{d}/x$ を $CD$ 方向の単位ベクトルとすると、(1)より $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の $CD$ 方向の成分はともに $x/2$ である。よって $A,B$ から直線 $CD$ までの距離は、それぞれ $\sqrt{5-x^2/4}$, $\sqrt{4-x^2/4}$ となる。したがって
$$S(x)=\frac{x}{2}\left(\sqrt{5-\frac{x^2}{4}}+\sqrt{4-\frac{x^2}{4}}\right).$$
$y=x^2$ ($0<y<16$) とおくと、$4S=\sqrt{y(20-y)}+\sqrt{y(16-y)}$ である。右辺を $T(y)$ とすると
$$T^{\prime}(y)=\frac{1}{\sqrt y}\left(\frac{10-y}{\sqrt{20-y}}+\frac{8-y}{\sqrt{16-y}}\right).$$
$0<y\leqq8$ では $T^{\prime}(y)>0$、$10\leqq y<16$ では $T^{\prime}(y)<0$ である。$8<y<10$ で $T^{\prime}(y)=0$ となる条件は
$$\frac{10-y}{\sqrt{20-y}}=\frac{y-8}{\sqrt{16-y}}.$$
両辺は正なので二乗してよく、整理すると
$$(10-y)^2(16-y)=(y-8)^2(20-y)\quad\text{すなわち}\quad 36y=320.$$
従って唯一の停留点は $y=80/9$ であり、そこで増加から減少に変わる。よって $S$ は $x=\sqrt{80/9}=4\sqrt5/3$ で最大となる。

(4) $AB$ が平面 $BCD$ に垂直であるから $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$。従って $(\vec{b}-\vec{a})\cdot\vec{b}=0$ より $\vec{a}\cdot\vec{b}=4$、したがって
$$AB^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}=4+5-8=1.$$
四面体の高さは $AB=1$ である。底面 $BCD$ の面積は、$\vec{b}\cdot\vec{d}=x^2/2$ を用いて
$$[BCD]=\frac12\sqrt{|\vec{b}|^2|\vec{d}|^2-(\vec{b}\cdot\vec{d})^2} =\frac{x}{4}\sqrt{16-x^2}.$$
$x=4\sqrt5/3$ を代入すると $[BCD]=8\sqrt5/9$ だから、体積は
$$\frac13[BCD]\cdot AB=\frac13\cdot\frac{8\sqrt5}{9}\cdot1=\frac{8\sqrt5}{27}.$$