3高知大学 2025年 数学 第3問解答・解説

位置ベクトルを $\vec a$=$\overrightarrow{OA}$,\ $\vec b$=$\overrightarrow{OB}$,\ $\vec c$=$\overrightarrow{OC}$ とおく。
$$|\vec a|^2=|\vec c|^2=13,\quad |\vec b|^2=25,\quad \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=13,\quad \vec a\cdot\vec c=7.$$

(1)
$$AB^2=|\vec b-\vec a|^2=25-2\cdot13+13=12, \qquad AC^2=|\vec c-\vec a|^2=13-2\cdot7+13=12.$$
したがって $AB=AC=2\sqrt3$。

(2)
$$BC^2=|\vec c-\vec b|^2=13-2\cdot13+25=12,$$
よって $ABC$ は1辺 $2\sqrt3$ の正三角形であり、
$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3.$$

(3) $M$ を $AC$ の中点とし、$\vec m=(\vec a+\vec c)/2$ とする。まず
$$(\vec c-\vec a)\cdot\vec m =\frac{|\vec c|^2-|\vec a|^2}{2}=0,$$
また
$$(\vec c-\vec a)\cdot(\vec b-\vec m) =(\vec c-\vec a)\cdot\vec b -\frac{|\vec c|^2-|\vec a|^2}{2} =(13-13)-0=0.$$
したがって $AC$ は $OM$ および $MB$ の両方に垂直である。次に
$$OM^2=|\vec m|^2=\frac{13+2\cdot7+13}{4}=10,\qquad MB^2=|\vec b-\vec m|^2=25-(13+13)+10=9.$$
ゆえに $OM=\sqrt{10},\ MB=3,\ OB=5$ であり、$\sqrt{10}+3>5$ かつ他の二辺の和も第三辺より大きいので、三角形 $OMB$ は退化しない。余弦定理より
$$\cos\angle OMB=\frac{10+9-25}{2\sqrt{10}\cdot3}=-\frac1{\sqrt{10}}, \qquad \sin\angle OMB=\frac3{\sqrt{10}}.$$
したがって
$$S_{OMB}=\frac12\cdot\sqrt{10}\cdot3\cdot\frac3{\sqrt{10}}=\frac92.$$
$AC\perp$平面$OMB$ で $M$ は $AC$ の中点なので、四面体 $OABC$ は底面 $OMB$ の両側にある四面体に分かれ、高さはそれぞれ $AM=CM=AC/2=\sqrt3$。よって
$$V_{OABC}=\frac13S_{OMB}(AM+CM) =\frac13\cdot\frac92\cdot2\sqrt3=3\sqrt3.$$

(4) $N$ を $OB$ の中点とする。
$$\vec a\cdot(\vec b-\vec a)=13-13=0,\qquad \vec c\cdot(\vec b-\vec c)=13-13=0.$$
よって $\triangle OAB$ は $A$ で、$\triangle OCB$ は $C$ で直角である。直角三角形の斜辺の中点は3頂点から斜辺の半分の距離にあるので
$$NO=NB=NA=NC=\frac{OB}{2}=\frac52.$$
したがって4点を通る球の中心は $N$、半径は $\boxed{\frac52}$ である。