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信州大学／2025年度

5信州大学 2025年 数学 第5問解答・解説

二次関数数列

1問題

信州大学2025年度第5問
数列 {an}\{a_{n}\} は初項 aa が 0 でない等差数列であり、また、a1, a23, a35a_{1},\ \dfrac{a_{2}}{3},\ \dfrac{a_{3}}{5} は公比が 1 でない等比数列であるとする。このとき、{an}\{a_{n}\} の一般項を aa および nn を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • an=(7−2n)a5a_{n}=\dfrac{(7-2n)a}{5}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

初項を a1=aa_1=a、公差を dd とおけば、a2=a+da_2=a+d、a3=a+2da_3=a+2d である。

a1,a23,a35a_1,\frac{a_2}{3},\frac{a_3}{5} が等比数列で、a1=a≠0a_1=a\ne0 だから
(a+d3)2=aa+2d5. \left(\frac{a+d}{3}\right)^2=a\frac{a+2d}{5}.
これを整理すると
5(a+d)2=9a(a+2d),5d2−8ad−4a2=0,(d−2a)(5d+2a)=0. \begin{aligned} 5(a+d)^2&=9a(a+2d),\\ 5d^2-8ad-4a^2&=0,\\ (d-2a)(5d+2a)&=0. \end{aligned}
d=2ad=2a のとき三数は a,a,aa,a,a で公比が1となり不適。d=−25ad=-\frac25a のときは a,15a,125aa,\frac15a,\frac1{25}a で、公比は 1/5≠11/5\ne1。従って公差は d=−25ad=-\frac25a、一般項は
an=a+(n−1)d=a−25a(n−1)=7−2n5a(n=1,2,…). \begin{aligned} a_n&=a+(n-1)d\\ &=a-\frac25a(n-1)\\ &=\frac{7-2n}{5}a\quad(n=1,2,\ldots). \end{aligned}

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 等比数列の中項条件
  • 因数分解
  • 除外条件の確認

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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