1島根大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

$t=3^{x}\ (t>0)$ とおくと、方程式は $t^{2}-t=1$、すなわち $t^{2}-t-1=0$ となる。したがって $t=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ であるが、$t>0$ より $t=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。よって $3^{x}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ だから、$x=\log_{3}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。

(2)

$9^{x}>0$ なので、元の方程式を $9^{x}$ で割ると、$\left(\dfrac{25}{9}\right)^{x}-\left(\dfrac{15}{9}\right)^{x}=1$ である。ここで $\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}$、$\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}$ より、$\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2x}-\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}=1$ となる。$u=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}\ (u>0)$ とおけば $u^{2}-u-1=0$ であり、正の解は $u=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。したがって $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ より、$x=\log_{\dfrac{5}{3}}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。