4大阪大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)

$t>0$ なので、積分区間では $x>0$ であり、$|\sin x|\leqq1$ を用いると
$$\left|\displaystyle\int_{t}^{2t}\dfrac{\sin x}{x^{2}}\,dx\right| \leqq\displaystyle\int_{t}^{2t}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx =\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{t}^{2t} =\dfrac{1}{2t}<\dfrac{1}{t}.$$
したがって、求める両側の不等式が成り立つ。

(2)

部分積分により
$$\displaystyle\int_{t}^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\,dx =\left[\dfrac{\sin x}{x}\right]_{t}^{2t} +\displaystyle\int_{t}^{2t}\dfrac{\sin x}{x^{2}}\,dx.$$
よって (1) で用いた評価から、
$$\left|\displaystyle\int_{t}^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\,dx\right| \leqq\dfrac{1}{2t}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{2t} =\dfrac{2}{t}\longrightarrow0\qquad(t\to\infty).$$
ゆえに極限は 0 である。

(3)

加法定理から $2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B)$ であるから、
$$f(x)=\dfrac{1}{2}(\cos x-\cos 2x).$$
また、置換 $u=2x$ により
$$\displaystyle\int_{1}^{t}\dfrac{\cos 2x}{x}\,dx=\displaystyle\int_{2}^{2t}\dfrac{\cos u}{u}\,du.$$
したがって $t\geqq2$ のとき、積分区間の加法性を用いて、
$$\begin{aligned} \displaystyle\int_{1}^{t}\dfrac{f(x)}{x}\,dx &=\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle\int_{1}^{t}\dfrac{\cos x}{x}\,dx-\displaystyle\int_{2}^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\,dx\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\cos x}{x}\,dx-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{t}^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\,dx. \end{aligned}$$$${\int }_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\frac{1}{2}\left({\int }_1^t\frac{\cos x}{x}dx-{\int }_2^{2t}\frac{\cos x}{x}dx\right)$$$$=\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{\cos x}{x}dx-\frac{1}{2}{\int }_t^{2t}\frac{\cos x}{x}dx.$$
最後の積分は (2) より $t\to\infty$ で 0 に収束する。よって
$$\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_{1}^{t}\dfrac{f(x)}{x}\,dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\cos x}{x}\,dx.$$