5大阪大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) 偶数回後には，文字列は $\mathrm{ABC},\mathrm{BCA},\mathrm{CAB}$ のいずれかである。2回の投げ方はそれぞれ確率 $\frac14$ であり，同じ面が2回続けば元の文字列に戻り，表裏の順序が異なれば残り2つの文字列のどちらかに移る。したがって，2回ごとの遷移では，現在の文字列にとどまる確率が $\frac12$，残り2つの各文字列へ移る確率が $\frac14$ である。

$2k$ 回後に $\mathrm{ABC},\mathrm{BCA},\mathrm{CAB}$ である確率をそれぞれ $P_k,Q_k,R_k$ とする。初期状態では $\mathrm{ABC}$ であり，遷移の対称性から $Q_k=R_k$ である。また $P_k+Q_k+R_k=1$ なので $P_k+2Q_k=1$ となる。上の遷移から
$$P_{k+1}=\frac12P_k+\frac12Q_k,\qquad Q_{k+1}=\frac14P_k+\frac34Q_k.$$
よって
$$P_{k+1}-Q_{k+1}=\frac14(P_k-Q_k).$$
$P_0=1,\ Q_0=0$ より，帰納的に $P_k-Q_k=4^{-k}$ である。$P_k=p_{2k},\ Q_k=q_{2k}$ だから
$$p_{2k}-q_{2k}=4^{-k}.$$

(2) 1回の操作は2文字を入れかえるので，奇数回後の文字列は $\mathrm{ACB},\mathrm{BAC},\mathrm{CBA}$ のいずれかであり，$\mathrm{ABC}$ には戻らない。したがって $n$ が奇数なら $p_n=0$ である。$n=2k$ のときは (1) より $P_k-Q_k=4^{-k}$ であり，$P_k+2Q_k=1$ だから
$$P_k=\frac{1+2\cdot4^{-k}}{3}.$$
ここで $P_k=p_{2k}=p_n$，かつ $2\cdot4^{-k}=2^{1-n}$ なので
$$p_n=\frac{1+2^{1-n}}{3}.$$