2大阪大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$q=p^2-m$で導関数の二つの根とその符号変化を整理し、$u=x+p$への平行移動で極値差を計算する。条件から$q=1$を得た後、二階導関数で変曲点を求めてパラメータを消去し、全ての実数xが得られることも示す。

(1)

$q=p^{2}-m$ とおく。$f'(x)=3\{(x+p)^{2}-q\}$ である。極大値と極小値をもつので $q>0$ であり、$f'(x)$ の符号は $x=-p-\sqrt{q}$ より左で正、その点から $x=-p+\sqrt{q}$ まで負、それより右で正となる。したがって
$$\alpha=-p-\sqrt{q},\qquad \beta=-p+\sqrt{q}.$$
$u=x+p$ とおけば
$$f(x)=u^{3}-3qu+2p^{3}-3mp.$$
よって
$$f(\alpha)=2q^{\dfrac{3}{2}}+2p^{3}-3mp,\qquad f(\beta)=-2q^{\dfrac{3}{2}}+2p^{3}-3mp$$
であるから
$$f(\alpha)-f(\beta)=4q^{\dfrac{3}{2}}=4(p^{2}-m)^{\dfrac{3}{2}}.$$

(2)

(1) より、条件 $f(\alpha)-f(\beta)=4$ は $4q^{\dfrac{3}{2}}=4$ を意味する。$q>0$ なので $q=1$、したがって $m=p^{2}-1$ である。
$$f''(x)=6(x+p)$$
は $x=-p$ を境に符号が変わるから、変曲点の $x$ 座標は $-p$ である。また、$u=x+p$ とした式から
$$f(-p)=2p^{3}-3mp=2p^{3}-3p(p^{2}-1)=-p^{3}+3p.$$
したがって変曲点は $(-p,\,-p^{3}+3p)$ である。$X=-p$ とおくと、この点は $(X,\,X^{3}-3X)$ と表される。$p$ は任意の実数を動けるので $X$ も任意の実数を動き、軌跡は
$$y=x^{3}-3x\qquad(x\text{ はすべての実数})$$
である。実際、任意の実数 $x$ に対し $p=-x,\ m=x^{2}-1$ とすれば条件を満たすため、この曲線上の点はすべて得られる。