2大阪大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$\vec{u}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおくと $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\dfrac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$ である。$\vec{u}$、$\vec{v}$ が垂直な単位ベクトルとわかれば、これを座標軸にとって円と半平面の共通部分の問題にできる。

$\vec{u}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおくと、$|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\dfrac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$ である。

(1)

条件より
$$\vec{u}\cdot\dfrac{\vec{u}+\vec{v}}{3}=\dfrac{1+\vec{u}\cdot\vec{v}}{3}=\dfrac{1}{3}$$
だから、$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ である。

(2)

(1) より $\vec{u}$、$\vec{v}$ は垂直な単位ベクトルだから、$\mathrm{O}$ を原点とし、$\vec{u}$、$\vec{v}$ の向きをそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸の正の向きとする座標を考える。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\vec{u}+y\vec{v}$ とすると、$\mathrm{P}(x,\,y)$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{3}\right)$ で、条件は
$$\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^{2}\leqq\dfrac{1}{9}\quad\text{かつ}\quad x\leqq\dfrac{1}{3}$$
となる。$\mathrm{P}$ の動く範囲は、中心 $\mathrm{K}\left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{3}\right)$、半径 $\dfrac{1}{3}$ の円の周および内部のうち、$x\leqq\dfrac{1}{3}$ の部分（半円の周および内部）である。

最小値：$\mathrm{OK}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ で、線分 $\mathrm{OK}$ と円の交点は $x$ 座標が $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3\sqrt{2}}<\dfrac{1}{3}$ だから範囲に含まれる。よって最小値は $\dfrac{\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$ である。

最大値：円周上の点を $\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\cos\theta,\,\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\sin\theta\right)\ \left(\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}\right)$ とすると
$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|^{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}(\cos\theta+\sin\theta)$$
で、$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$ では $\cos\theta+\sin\theta\leqq 1$（等号は $\theta=\dfrac{\pi}{2}$）だから、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|^{2}\leqq\dfrac{5}{9}$。直線 $x=\dfrac{1}{3}$ 上の部分 $0\leqq y\leqq\dfrac{2}{3}$ でも $\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|^{2}=\dfrac{1}{9}+y^{2}\leqq\dfrac{5}{9}$ である。範囲の内部の点は、$\mathrm{O}$ から見てその先にある境界上の点より $\mathrm{O}$ に近い。よって最大値は、点 $\left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{2}{3}\right)$ のときの $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ である。