4久留米大学 2023年 数学 第4問解答・解説

回転と対称性を用いて、$\mathrm{O}=(0,0)$、$\mathrm{A}=(\sqrt{6},0)$ と置いてよい。接点を $\mathrm{P}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}},\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right)$ とする。実際、単位円上の $\mathrm{P}$ における接線は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}=1$ であり、これが $\mathrm{A}$ を通る条件から $P_{x}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$、単位円上の条件から $P_{y}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ となる。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{P}$ の対蹠点（$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$）なので
$$\mathrm{Q}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{6}},-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right).$$

接線の長さと $\mathrm{AQ}$ は
$$\mathrm{AP}=\sqrt{\mathrm{AO}^{2}-1}=\sqrt{5},\qquad \mathrm{AQ}^{2}=\left(\sqrt{6}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)^{2}+\dfrac{5}{6}=9$$
より $\mathrm{AP}=\sqrt{5}$、$\mathrm{AQ}=3$。点 $\mathrm{A}$ の単位円に対する方べきは $\mathrm{AO}^{2}-1=5$ だから、$\mathrm{AQ}\cdot\mathrm{AR}=5$ より $\mathrm{AR}=\dfrac{5}{3}$。

直線 $\mathrm{AP}$ 上の点 $\mathrm{S}$ は、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})$ と表せる。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})=-5$、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}=5$ であり、$\mathrm{S}$ が半径 $\sqrt{6}$ の円上にある条件 $|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|^{2}=6$ は
$$6-10t+5t^{2}=6,$$
ゆえに $t=0$ または $2$。$\mathrm{S}\neq\mathrm{A}$ なので $t=2$、すなわち $\overrightarrow{\mathrm{OS}}=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ である。従って $\mathrm{PS}=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\mathrm{AP}$ で、$\mathrm{AP}:\mathrm{PS}=1:1$。

点 $\mathrm{T}$ は直線 $\mathrm{AO}$（$x$ 軸）上にあり、直線 $\mathrm{SQ}$ 上にある。$S_{y}=2P_{y}$、$Q_{y}=-P_{y}$ なので、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OT}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OS}}+s\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と書けば、$T$ の $y$ 座標が $0$ であることから $0=2P_{y}-3sP_{y}$、すなわち $s=\dfrac{2}{3}$。よって $\mathrm{ST}:\mathrm{TQ}=2:1$。

方べきから $\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AQ}}=\dfrac{5}{9}$ であるから、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{5}{9}(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})$ より
$$\mathrm{R}=\left(\dfrac{19}{9\sqrt{6}},\,-\dfrac{5\sqrt{5}}{9\sqrt{6}}\right).$$
直線 $\mathrm{PR}$ 上の点を $\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\lambda(\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})$ と表すと、その $y$ 座標が $0$ となるのは $\lambda=\dfrac{9}{14}$ のときである。このとき
$$\mathrm{U}=\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{7},\,0\right),\qquad \mathrm{AU}=\sqrt{6}-\dfrac{2\sqrt{6}}{7}=\dfrac{5\sqrt{6}}{7}.$$

$\mathrm{U}$ は $C_{2}$ の内部にあり、$\mathrm{OU}=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}$ である。直線 $\mathrm{PR}$ と円 $C_{2}$ の交点を $\mathrm{D}$、$\mathrm{E}$ とすると、方べきの定理より $\mathrm{UD}\cdot\mathrm{UE}=(\sqrt{6})^{2}-\mathrm{OU}^{2}$ である（弦の中点を $\mathrm{M}$ とすれば $\mathrm{UD}\cdot\mathrm{UE}=\mathrm{DM}^{2}-\mathrm{UM}^{2}=6-\mathrm{OM}^{2}-\mathrm{UM}^{2}=6-\mathrm{OU}^{2}$）。従って
$$\mathrm{DU}\times\mathrm{EU}=6-\dfrac{24}{49}=\dfrac{270}{49}.$$
以上より
$$\mathrm{AP}=\sqrt{5},\ \mathrm{AQ}=3,\ \mathrm{AR}=\dfrac{5}{3},\ \mathrm{AP}:\mathrm{PS}=1:1,\ \mathrm{ST}:\mathrm{TQ}=2:1,\ \mathrm{AU}=\dfrac{5\sqrt{6}}{7},\ \mathrm{DU}\times\mathrm{EU}=\dfrac{270}{49}.$$