3大阪大学 2023年 数学 第3問解答・解説

曲線 $y=\cos x$ の $x=t$ における接線は
$$y-\cos t=-\sin t(x-t)$$
である。したがって、この接線が $P(a,b)$ を通る条件は
$$b=\cos t+(t-a)\sin t$$
である。そこで
$$F(t)=\cos t+(t-a)\sin t\qquad(-\pi\leqq t\leqq\pi)$$
とおくと、求めるのは方程式 $F(t)=b$ の解の個数が4となる $(a,b)$ の範囲である。
$$F'(t)=(t-a)\cos t,$$
また
$$F(-\pi)=F(\pi)=-1,\quad F\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=a+\dfrac{\pi}{2},\quad F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-a,\quad F(a)=\cos a.$$

まず $0<a<\dfrac{\pi}{2}$ のとき、導関数の符号は区間
$$-\pi\leqq t\leqq-\dfrac{\pi}{2},\quad-\dfrac{\pi}{2}\leqq t\leqq a,\quad a\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2},\quad\dfrac{\pi}{2}\leqq t\leqq\pi$$
で順に $+,-,+,-$ となる。さらに
$$g(a)=\cos a+a-\dfrac{\pi}{2}$$
とおけば $g'(a)=1-\sin a>0$ かつ $g(\dfrac{\pi}{2})=0$ だから $g(a)<0$。よって
$$-1<\cos a<\dfrac{\pi}{2}-a<a+\dfrac{\pi}{2}.$$
水平線 $y=b$ が4つの単調区間すべてと交わるのは
$$\cos a<b<\dfrac{\pi}{2}-a$$
のときに限る。この範囲では各区間に解が1個ずつある。等号では隣り合う区間の解が折返し点で1個に重なるため、解は3個となる。また端の値 $b=-1$ では $t=\pm\pi$ の2個だけであり、ほかの高さでも4個にはならない。

次に $a=\dfrac{\pi}{2}$ のとき、$F$ は $-\pi\leqq t\leqq-\dfrac{\pi}{2}$ で増加し、$-\dfrac{\pi}{2}\leqq t\leqq\pi$ で減少する（$t=\dfrac{\pi}{2}$ で導関数は0だが増減は変わらない）。したがって方程式 $F(t)=b$ の解は高々2個であり、条件を満たさない。

最後に $\dfrac{\pi}{2}<a<\pi$ とし、$h=\dfrac{\pi}{2}-a$、$c=\cos a$ とおく。このとき導関数の符号は
$$-\pi\leqq t\leqq-\dfrac{\pi}{2},\quad-\dfrac{\pi}{2}\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2},\quad\dfrac{\pi}{2}\leqq t\leqq a,\quad a\leqq t\leqq\pi$$
で順に $+,-,+,-$ となる。また
$$c-h=\cos a+a-\dfrac{\pi}{2}>0,\qquad c>-1.$$
前者は $g(a)=\cos a+a-\dfrac{\pi}{2}$ の導関数が $1-\sin a>0$ で、$g(\dfrac{\pi}{2})=0$ であることから従う。よって4つの区間すべてに解があるのは
$$\max(-1,h)<b<c$$
のときである。例外的に $b=-1$ も、$h<-1$ のときは端点 $t=-\pi,\pi$ に加え中央の2区間に各1個の解をもち、合計4個となる。$b=-1$ で $h=-1$ なら中央の折返し点を含めて3個、$h>-1$ なら端点の2個である。$b=h$ または $b=c$ では折返し点で隣の区間の解が1個に重なるので4個にならない。ここで $h<-1$ は $a>\dfrac{\pi}{2}+1$ と同値である。

以上から、求める範囲は
$$\boxed{\begin{cases} 0<a<\dfrac{\pi}{2},&\cos a<b<\dfrac{\pi}{2}-a,\\[2mm] \dfrac{\pi}{2}<a\leqq\dfrac{\pi}{2}+1,&\dfrac{\pi}{2}-a<b<\cos a,\\[2mm] \dfrac{\pi}{2}+1<a<\pi,&-1\leqq b<\cos a. \end{cases}}$$
したがって、$b=\cos a$ と $b=\dfrac{\pi}{2}-a$ の境界は含まず、$b=-1$ は $a>\dfrac{\pi}{2}+1$ の部分だけ含む。$a=\dfrac{\pi}{2}$、$a=0$、$a=\pi$ は含まれない。

例として、$a=\dfrac{\pi}{3}$ では $\dfrac12<\dfrac{\pi}{6}$ なのでその間の高さで4区間を1回ずつ横切る。また $a=3$ では $\dfrac{\pi}{2}-3<-1<\cos 3$ となるため、$b=-1$ は端点2個と中央の2区間の解を合わせて4個を与える。境界 $a=\dfrac{\pi}{2}+1, b=-1$ では3個となり、水平境界の採否も一致する。