1大阪大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 等比数列の和より
$$1+\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1}=\sum_{j=0}^{n-1}(-x)^j =\frac{1-(-x)^n}{1+x}.$$
従って
$$(-1)^n\left\{\frac1{1+x}-1-\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1}\right\} =\frac{x^n}{1+x}.$$
$0\leqq x\leqq1$ では $1+x\leqq2$ なので $1/(1+x)\geqq1/2$。また
$$(1+x)\left(1-\frac x2\right)-1=\frac{x(1-x)}2\geqq0,$$
ゆえに $1/(1+x)\leqq1-x/2$。これらに $x^n\geqq0$ を掛ければ、求める両側の不等式を得る。

(2) 有限和を項ごとに積分すると
$$a_n=\int_0^1\sum_{k=1}^n(-x)^{k-1}\,dx, \qquad \log2=\int_0^1\frac{dx}{1+x}.$$
(1)で得た差の式から
$$\log2-a_n=(-1)^n I_n,\qquad I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx.$$
したがって求める列は $-nI_n$ である。(1)の不等式を $0$ から $1$ まで積分すると
$$\frac1{2(n+1)}\leqq I_n\leqq\frac1{n+1}-\frac1{2(n+2)}.$$
よって
$$\frac{n}{2(n+1)}\leqq nI_n\leqq\frac{n}{n+1}-\frac{n}{2(n+2)}.$$
左右の極限はいずれも $1/2$ だから、はさみうちにより $nI_n\to1/2$。以上より
$$\lim_{n\to\infty}(-1)^n n(a_n-\log2)=-\frac12.$$