V防衛医科大学校 2022年 数学 第V問解答・解説

単位位置ベクトルの内積からB,Dの対称座標とAを定め、成分内積で角の余弦を計算した。BC=CDと頂点順でCを決めた後、直線ABへの点と直線の距離を求めた。

$\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OB}=\vec{b},\ \vec{OD}=\vec{d}$ とおく。半径1の円上の点なので $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{d}|=1$ である。条件から
$$24\vec{a}=-(7\vec{b}+25\vec{d})$$
であり、両辺の長さを平方すると
$$24^2=|7\vec{b}+25\vec{d}|^2=49+625+350\vec{b}\cdot\vec{d}.$$
よって $\vec{b}\cdot\vec{d}=-\frac7{25}$ となる。$\vec{b}+\vec{d}$ の方向を $x$ 軸にとると、$|\vec{b}+\vec{d}|^2=2+2\vec{b}\cdot\vec{d}=\frac{36}{25}$ だから、$\vec{b},\vec{d}$ の $x$ 成分はいずれも $\frac35$、$y$ 成分は互いに反対で絶対値 $\frac45$ である。向きを選んで
$$\vec{b}=\left(\frac35,\frac45\right),\qquad \vec{d}=\left(\frac35,-\frac45\right)$$
とする。このとき
$$7\vec{b}+25\vec{d}=\left(\frac{96}{5},-\frac{72}{5}\right)$$
なので、条件式より
$$\vec{a}=\left(-\frac45,\frac35\right)$$
を得る。

$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=(\frac75,\frac15)$、$\overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=(\frac75,-\frac75)$ であるから
$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AD}|} =\frac{42/25}{\sqrt2\cdot 7\sqrt2/5}=\frac35.$$
また、$\overrightarrow{BA}=(-\frac75,-\frac15)$、$\overrightarrow{BD}=(0,-\frac85)$ より
$$\cos\beta=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BD}|} =\frac{8/25}{\sqrt2\cdot 8/5}=\frac1{5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{10}.$$

$\vec{OC}=\vec{c}=(x,y)$ とおく。$BC=CD$ と $|\vec{b}|=|\vec{d}|=|\vec{c}|=1$ から $|\vec{c}-\vec{b}|^2=|\vec{c}-\vec{d}|^2$、従って $\vec{c}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{d}$ である。上で定めた成分を代入すると $y=0$ となり、$|\vec{c}|=1$ より $C=(1,0)$ または $(-1,0)$。四角形の頂点の順序が $A,B,C,D$ なので、$C$ は $B,D$ のうち $A$ を含まない弧上にあり、$C=(1,0)$ である。

直線 $AB$ の傾きは $\frac17$ だから、その方程式は
$$y-\frac35=\frac17\left(x+\frac45\right),\qquad x-7y+5=0.$$
従って $C=(1,0)$ からこの直線までの距離は
$$CH=\frac{|1-7\cdot0+5|}{\sqrt{1^2+(-7)^2}}=\frac6{\sqrt{50}}=\frac{3\sqrt2}{5}.$$
以上より各欄は順に $3,5,2,1,0,3,2,5$ である。