IV慶應義塾大学 2024年 数学 第IV問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数、式、または記号を入れて文章を完成させなさい。ただし空欄（さ）、（し）、（す）には選択肢より適切な記号を選んで記入すること。
座標空間の4点 $O(0,0,0),\ A(-3,-1,1),\ B(2,-2,2),\ C(3,3,3)$ を頂点とする四面体 $OABC$ の、平面 $z=t$ による切り口を $S_{t}$ とする。

(1) $S_{t}$ は $1<t<2$ のとき四角形となり、$t=1$ および $t=2$ のとき三角形となる。$1<t<2$ に対して、以下の条件を満たすように $S_{t}$ の4つの頂点を $W,X,Y,Z$ と定める。

条件：$t$ を1に限りなく近づけるとき $W$ と $X$ が限りなく近づき、$t$ を2に限りなく近づけるとき $W$ と $Y$ が限りなく近づく。

このとき $W,X,Y,Z$ の座標は
$$\begin{aligned} W\left(\boxed{\text{あ}},\boxed{\text{い}},t\right),\quad X\left(\boxed{\text{う}},\boxed{\text{え}},t\right),\\ Y\left(\boxed{\text{お}},\boxed{\text{か}},t\right),\quad Z\left(\boxed{\text{き}},\boxed{\text{く}},t\right) \end{aligned}$$$$W\left(\boxed{\text{あ}},\boxed{\text{い}},t\right),X\left(\boxed{\text{う}},\boxed{\text{え}},t\right),$$$$Y\left(\boxed{\text{お}},\boxed{\text{か}},t\right),Z\left(\boxed{\text{き}},\boxed{\text{く}},t\right)$$
となる。

(2) $1\leqq t\leqq2$ のとき、$S_{t}$ の面積を $A(t)$ とすると、$A(t)=\boxed{\text{け}}$ である。これより四面体 $OABC$ の体積 $V$ を求めると $V=\boxed{\text{こ}}$ となる。

(3) 点 $D(6,2,4)$ を追加すると、5点 $O,A,B,C,D$ は6つの三角形 $OAB,OBC,OAC,\boxed{\text{さ}},\boxed{\text{し}},\boxed{\text{す}}$ を面とする六面体の頂点である。3点 $A,B,C$ を通る平面 $\alpha$ と線分 $OD$ との交点を $E$ とするとき、$\overrightarrow{AE}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$ が成り立つように $u,v$ を定めると、$u=\boxed{\text{せ}},\ v=\boxed{\text{そ}}$ である。したがって $u+v>1$ となるので、点 $E$ はこの六面体の外にある。

選択肢：$ABC,\ ABD,\ ACD,\ BCD,\ OAD,\ OBD,\ OCD$

(4) $1<t<2$ に対して、(3)の六面体を平面 $z=t$ で切った切り口の面積を $U(t)$ とすると、$U(t)$ は $t=\boxed{\text{た}}$（ただし $1<\boxed{\text{た}}<2$）において最大値 $\boxed{\text{ち}}$ をとる。