5東京大学 2024年 数学 第5問解答・解説

$D=(1/2,0,1/2)$ であり、三角形 $ABD$ は平面 $x+y+z=1$ 上にある。$x$ を固定すると、断面は $y+z=1-x$ 上の線分となる。回転後の断面は、線分上の距離 $r=\sqrt{y^2+z^2}$ の最小値を内半径、最大値を外半径とする円環である。

外半径は $R(x)=1-x$。実際、$0\leqq x\leqq 1/2$ では線分の端点は $AB$ 上の $(y,z)=(1-x,0)$ と $BD$ 上の $(1-2x,x)$ であり、
$$(1-x)^2-\{(1-2x)^2+x^2\}=2x(1-2x)\geqq0.$$
$1/2\leqq x\leqq1$ では端点は $(1-x,0)$ と $(0,1-x)$ で、どちらも距離は $1-x$ である。

内半径は、$s=1-x$ とおくと
$$y^2+z^2=(s-z)^2+z^2=2\left(z-\frac{s}{2}\right)^2+\frac{s^2}{2}.$$
$0\leqq x\leqq1/2$ では線分上の $z$ は $0\leqq z\leqq x$ である。$x<1/3$ なら $s/2>x$ なので最小値は $z=x$ で生じ、$r_{\min}^2=(1-2x)^2+x^2$。$x\geqq1/3$ なら $z=s/2$ が線分上にあり、$r_{\min}^2=(1-x)^2/2$。$1/2\leqq x\leqq1$ でも $z=s/2$ が線分上にあるので同じ式になる。

よって体積は
$$\begin{aligned} V &=\pi\int_0^{1/3}\left\{(1-x)^2-\bigl((1-2x)^2+x^2\bigr)\right\}\,dx +\pi\int_{1/3}^1\left\{(1-x)^2-\frac{(1-x)^2}{2}\right\}\,dx\\ &=\pi\int_0^{1/3}(2x-4x^2)\,dx+\frac{\pi}{2}\int_{1/3}^1(1-x)^2\,dx\\ &=\frac{5\pi}{81}+\frac{4\pi}{81} =\boxed{\frac{\pi}{9}}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^{1/3}\left\{(1-x{)}^2-((1-2x{)}^2+x^2)\right\}dx+\pi {\int }_{1/3}^1\left\{(1-x{)}^2-\frac{(1-x{)}^2}{2}\right\}dx$$$$=\pi {\int }_0^{1/3}(2x-4x^2)dx+\frac{\pi }{2}{\int }_{1/3}^1(1-x{)}^{2}dx$$$$=\frac{5\pi }{81}+\frac{4\pi }{81}=\boxed{\frac{\pi }{9}}.$$