2大阪公立大学 2025年 数学 第2問解答・解説

大阪公立大学 2025年度 数学 第2問

(1)

4点は全て平面 $x=1$ 上にあるので、方向の計算は $(y,z)$ 座標で行える。
$$\overrightarrow{AC}=(0,3,2),\qquad \overrightarrow{AB}=(0,-1,2).$$
直線 $\ell$ の方向ベクトルとして $(0,2,-3)$ を取ると
$(0,2,-3)\cdot(0,3,2)=6-6=0$。直線 $m$ の方向ベクトルとして $(0,2,1)$ を取ると
$(0,2,1)\cdot(0,-1,2)=-2+2=0$。従って
$$\ell:\ (x,y,z)=(1,0,2)+s(0,2,-3),\qquad m:\ (x,y,z)=(1,4,2)+u(0,2,1).$$
交点では $2s=4+2u$、$2-3s=2+u$。前者から $s=2+u$、これを後者に入れて $u=-\frac32$、$s=\frac12$。従って
$$\boxed{E=(1,1,\tfrac12)}.$$

(2)

内分点の公式より、指定された比に対して
$$\begin{aligned} P&=(1-t)A+tB=(1,1-t,2t),\\ Q&=(1-t)A+tC=(1,1+3t,2t),\\ R&=tC+(1-t)D=(2t-1,1+3t,2t),\\ S&=tB+(1-t)D=(2t-1,1-t,2t). \end{aligned}$$$$P=(1-t)A+tB=(1,1-t,2t),$$$$Q=(1-t)A+tC=(1,1+3t,2t),$$$$R=tC+(1-t)D=(2t-1,1+3t,2t),$$$$S=tB+(1-t)D=(2t-1,1-t,2t).$$
4点は全て $z=2t$ を満たすため、同じ平面上にある。また $0<t<1$ より $x$ 座標の二値は異なり、$y$ 座標の二値も異なる。したがって順に $P,Q,R,S$ を結ぶと、横幅 $2(1-t)$、縦幅 $4t$ の長方形になる。

(3)

問2より、平面 $\alpha$ は $z=2t$ で、切り口は長方形 $PQRS$。辺の長さは
$$PQ=(1+3t)-(1-t)=4t, \qquad QR=1-(2t-1)=2(1-t).$$
従って切り口の面積は
$$\boxed{8t(1-t)}.$$

(4)

問2の表示から平面 $\alpha$ は水平面 $z=2t$。これに平行で $E=(1,1,\frac12)$ を通る平面 $\beta$ は $z=\frac12$ である。$B,C$ は $z=2$ にあるから、辺 $BC$ を含む方は $\frac12\leqq z\leqq2$ の部分である。

四面体を高さ $z=2s$（$0\leqq s\leqq1$）で切ると、各辺との交点は問2の式で $t$ を $s$ に置き換えたものとなる。その断面は幅 $2(1-s)$、高さ $4s$ の長方形だから、面積は $A(2s)=8s(1-s)$。高さの微小幅は $dz=2\,ds$ なので、求める体積は断面積を積分して
$$\begin{aligned} V&=\int_{1/2}^{2}A(z)\,dz =2\int_{1/4}^{1}8s(1-s)\,ds =16\int_{1/4}^{1}s(1-s)\,ds\\ &=16\left[\frac{s^2}{2}-\frac{s^3}{3}\right]_{1/4}^{1} =16\left(\frac16-\frac5{192}\right) =\boxed{\frac94}. \end{aligned}$$$$V={\int }_{1/2}^{2}A(z)dz=2{\int }_{1/4}^{1}8s(1-s)ds=16{\int }_{1/4}^{1}s(1-s)ds$$$$=16{\left[\frac{s^2}{2}-\frac{s^3}{3}\right]}_{1/4}^1=16\left(\frac{1}{6}-\frac{5}{192}\right)=\boxed{\frac{9}{4}}.$$