4福井大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1)
1 回の測定値を $X_{i}$（$i=1,\,2,\,\cdots,\,100$）とすると、$X_{i}=a+e_{i}$ と表せる。ここで $e_{i}$ は平均 0、標準偏差 0.5 の正規分布に従う測定誤差である。各測定は互いに独立であるとする。
標本平均 $\overline{X}=\dfrac{1}{100}\displaystyle\sum_{i=1}^{100}X_{i}$ について、
$$E(\overline{X})=a,\qquad \sigma(\overline{X})=\frac{0.5}{\sqrt{100}}=0.05$$
よって、期待値は $a$ g、標準偏差は 0.05 g である。

(2)
$\overline{X}$ は正規分布 $N(a,\,0.05^{2})$ に従うので、$\dfrac{\overline{X}-a}{0.05}$ は標準正規分布に従う。95% の区間は、正規分布表より $1.96$ を用いて
$$-1.96\leqq\frac{\overline{X}-a}{0.05}\leqq 1.96$$
すなわち $\overline{X}-0.098\leqq a\leqq\overline{X}+0.098$ である。$\overline{X}=50.2$ を代入すると $50.102\leqq a\leqq 50.298$。
小数第 3 位を四捨五入して、$50.10\leqq a\leqq 50.30$。
よって、信頼区間は $50.10$ g 以上 $50.30$ g 以下である。

(3)
帰無仮説を $H_{0}:a=50$、対立仮説を $H_{1}:a>50$ とする。
$H_{0}$ のもとで $\overline{X}$ は $N(50,\,0.05^{2})$ に従うので、検定統計量は $Z=\dfrac{\overline{X}-50}{0.05}$。
観測値は $Z=\dfrac{50.2-50}{0.05}=4.0$。
片側検定の有意水準 5% の棄却域は $Z\geqq 1.645$ なので、$4.0\geqq 1.645$ より $H_{0}$ を棄却する。
よって、有意水準 5% で、$a$ は 50 g より大きいといえる。