I慶應義塾大学 2026年 数学 第I問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。ただし、根号を用いた分数は、分母を有理化した形で記入しなさい。

(1) 連続型確率変数 $X$ のとる値の範囲が $\alpha\leqq X\leqq\beta$ で、その確率密度関数が $f(x)$ であるとき、$X$ の期待値 $m=E(X)$ と分散 $V(X)$ を次の式で定める。$$m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x)\,dx,\qquad V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2f(x)\,dx$$ 連続型確率変数 $Y$ のとる値の範囲が $0\leqq Y\leqq\frac{\pi}{2}$ で、その確率密度関数が $$g(y)=\sin 2y\quad\left(0\leqq y\leqq\frac{\pi}{2}\right)$$ であるとき、$\frac{\pi}{4}\leqq Y\leqq\frac{3\pi}{8}$ となる確率は $\boxed{\text{あ}}$ である。また、$E(Y)=\boxed{\text{い}}$ であり、$V(Y)=\boxed{\text{う}}$ である。

(2) $a$ を実数とし、2つの集合 $A$ と $B$ を、$$A=\{\,x\mid 3(a+1)\leqq x\leqq 3(a+2)\,\},\qquad B=\{\,x\mid a^3-4a\leqq x\leqq a^3-4a+2(a-1)^2+1\,\}$$ と定める。集合 $A,B$ のどちらにも属する要素があるための必要十分条件は、$\boxed{\text{え}}\leqq a\leqq\boxed{\text{お}}$、または $\boxed{\text{か}}\leqq a\leqq\boxed{\text{き}}$、または $\boxed{\text{く}}\leqq a\leqq\boxed{\text{け}}$ である。ただし、$\boxed{\text{え}}<\boxed{\text{か}}<\boxed{\text{く}}$ とする。

(3) $b$ を0でない実数とする。座標空間に平行四辺形 $OPQR$ があり、その頂点の座標が $$O(0,0,0),\qquad P(0,1,-1),\qquad Q(1,c,d),\qquad R\left(1,b,\frac{1}{b}\right)$$ であるとき、$b$ を用いて $c=\boxed{\text{こ}}$、$d=\boxed{\text{さ}}$ と表され、平行四辺形 $OPQR$ の面積 $S(b)$ は、$b$ を用いて $\sqrt{\boxed{\text{し}}}$ と表される。また、$b$ が0でないすべての実数を動くとき、$S(b)$ の最小値は $\boxed{\text{す}}$ である。