5京都大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1)

領域を考えるため、$x\geqq 0$ とし、$L(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$、$U(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ とおく。差は $U(x)-L(x)=e^{-x}>0$ である。また $L'(x)=U(x)>0$、$U'(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}=L(x)\geqq 0$ なので、$L$ は増加し、$U$ も $x\geqq 0$ で増加する。ここで問題の条件は $a\geqq 1$ である。領域の右端は $L(x)=a$ となる $\beta$ で決まる。

交点を指数と対数だけで求める。$t=e^{x}$ とすると $t\geqq 1$。方程式 $L(x)=a$ は $t^{2}-2at-1=0$ となるので、正の解は $t=a+\sqrt{a^{2}+1}$ である。従って $\beta=\log\left(a+\sqrt{a^{2}+1}\right)$。
一方、上側の境界が $U(x)$ から $a$ に切り替わる点 $\alpha$ は $U(x)=a$ を満たす。これは $t^{2}-2at+1=0$ であり、$t=a\pm\sqrt{a^{2}-1}$ である。$t=e^{x}\geqq 1$ に対応する大きい根を選んで $\alpha=\log\left(a+\sqrt{a^{2}-1}\right)$ を得る（$a=1$ では $\alpha=0$）。さらに $a+\sqrt{a^{2}+1}>a+\sqrt{a^{2}-1}\geqq 1$ より $0\leqq\alpha<\beta$ である。
$0\leqq x\leqq\alpha$ では $U(x)\leqq a$、$\alpha\leqq x\leqq\beta$ では上端は $a$ だから、面積は
$$S_{a}=\int_{0}^{\alpha}\left(U(x)-L(x)\right)dx+\int_{\alpha}^{\beta}\left(a-L(x)\right)dx$$
である。

(2)

第 1 積分は $\displaystyle\int_{0}^{\alpha}e^{-x}\,dx=1-e^{-\alpha}$ である。第 2 積分では $U'(x)=L(x)$ を使って $a(\beta-\alpha)-U(\beta)+U(\alpha)=a(\beta-\alpha)+a-\sqrt{a^{2}+1}$。また $e^{-\alpha}=\dfrac{1}{a+\sqrt{a^{2}-1}}=a-\sqrt{a^{2}-1}$。従って
$$S_{a}=1+\sqrt{a^{2}-1}-\sqrt{a^{2}+1}+a\log\dfrac{a+\sqrt{a^{2}+1}}{a+\sqrt{a^{2}-1}}.$$

(3)

極限を調べる。
$$\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}=\dfrac{2}{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}\longrightarrow 0.$$
さらに $u=\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}}{a+\sqrt{a^{2}-1}}>0$ とすれば、$\beta-\alpha=\log(1+u)$ である。$a\geqq 2$ では $\sqrt{a^{2}-1}\geqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ なので、$u$の分子は $\dfrac{2}{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}\leqq\dfrac{2}{\sqrt{3}\,a}<\dfrac{2}{a}$、分母は $a+\sqrt{a^{2}-1}\geqq a$ である。よって $u\leqq\dfrac{2}{a^{2}}$。$0\leqq\log(1+u)\leqq u$ を用いると $0\leqq a(\beta-\alpha)\leqq\dfrac{2}{a}\to 0$ である。以上より $\displaystyle\lim_{a\to\infty}S_{a}=1$ である。