4京都大学 2024年 数学 第4問解答・解説

全項が奇数である場合に漸化式を反復し、最後の項の偶奇から $a_0+1$ の必要な2の累乗の因数を導く。最小となる $a_0$ について項の一般式を確かめる。

(1)(2)をまとめて、$a_0,a_1,\ldots,a_k$ がすべて奇数となる最小の $a_0$ を考える。この条件のもとでは $n=0,1,\ldots,k-1$ で常に奇数の場合の漸化式を使うから、$$a_{n+1}+1=\frac{3a_n+1}{2}+1=\frac{3(a_n+1)}{2}.$$ よって帰納的に、$$a_n+1=\frac{3^n(a_0+1)}{2^n}\qquad(0\leqq n\leqq k)$$ となる。
$a_k$ は奇数なので $a_k+1$ は偶数である。したがって $$3^k(a_0+1)=2^k(a_k+1)$$ は $2^{k+1}$ の倍数である。
$3^k$ は奇数であるから、$a_0+1$ は $2^{k+1}$ の倍数であり、$a_0\geqq 2^{k+1}-1$ である。
この最小値は実際にとれる。実際、$a_0=2^{k+1}-1$ とすると、$0\leqq n\leqq k$ について$$a_n=3^n2^{k+1-n}-1$$となる。$k+1-n\geqq1$ なので各 $a_n$ は奇数であり、$n<k$ では$$\frac{3a_n+1}{2}=3^{n+1}2^{k-n}-1=a_{n+1}$$が成り立つ。ゆえにこの $a_0$ は条件を満たし、最小である。
(1)では $k=3$ だから $a_0=2^4-1=15$。このとき$(a_0,a_1,a_2,a_3)=(15,23,35,53)$ である。
(2)では $k=10$ だから $a_0=2^{11}-1=2047$。このとき $0\leqq n\leqq10$ で $a_n=3^n2^{11-n}-1$ はすべて奇数である。