5宮崎大学 2024年 数学 第5問解答・解説

導関数の符号で曲線の形を調べ、逆関数表示を使って回転体の水平断面を円環として積分する。

(1) 関数を対数の差に分けると
$$f(x)=\frac12\{\log(1+x)-\log(1-x)\}\quad(-1<x<1)$$
であるから、
$$f'(x)=\frac12\left(\frac1{1+x}+\frac1{1-x}\right)=\frac1{1-x^2},\qquad f''(x)=\frac{2x}{(1-x^2)^2}.$$

(2) (x$\to$-1+0) のとき、$\frac{1+x}{1-x}\to0+$ だから $f(x)\to-\infty$ である。また、$x\to1-0$ のとき、$\frac{1+x}{1-x}\to+\infty$ だから $f(x)\to+\infty$ である。

(3) $-1<x<1$ では $f'(x)=\frac1{1-x^2}>0$ なので、$f$ は区間全体で単調増加し、極値をもたない。$f''(x)$ は $-1<x<0$ の範囲で負、$0<x<1$ の範囲で正であるから、曲線 $C$ は $-1<x<0$ の範囲で上に凸、$0<x<1$ の範囲で下に凸であり、$f(0)=0$ より変曲点は $(0,0)$ である。(2) の極限から、漸近線は $x=-1$ と $x=1$ である。さらに $f(-x)=-f(x)$ なので曲線は原点対称である。したがって、曲線は $x=-1$ の右側で $y\to-\infty$ から出て、原点を通り、$x=1$ の左側で $y\to+\infty$ となる形である。

(4) $y=\frac12\log\frac{1+x}{1-x}$ より $e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$ である。これを $x$ について解くと
$$x=\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}.$$
また、商の微分法により
$$\frac{d}{dy}\left(\frac1{e^y+e^{-y}}\right)=-\frac{e^y-e^{-y}}{(e^y+e^{-y})^2}.$$

(5) $0\leqq y\leqq\alpha$ における領域の横断面は、$y$ 軸から距離 $x(y)=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}$ の曲線から直線 $x=1$ までである。これを $y$ 軸のまわりに回転した断面は、外半径 $1$、内半径 $x(y)$ の円環となる。さらに
$$x'(y)=\frac{(e^y+e^{-y})^2-(e^y-e^{-y})^2}{(e^y+e^{-y})^2}=\frac4{(e^y+e^{-y})^2}=1-x(y)^2.$$
よって
$$V(\alpha)=\pi\int_0^\alpha\{1-x(y)^2\}\,dy=\pi\int_0^\alpha x'(y)\,dy=\pi\{x(\alpha)-x(0)\}=\pi\frac{e^\alpha-e^{-\alpha}}{e^\alpha+e^{-\alpha}}.$$
$\alpha\to\infty$ のとき、$\frac{e^\alpha-e^{-\alpha}}{e^\alpha+e^{-\alpha}}\to1$ だから、$\lim_{\alpha\to\infty}V(\alpha)=\pi$ である。