1京都大学 2024年 数学 第1問解答・解説

向かい合う3組を基準に、各組の2面が同色か異色かで場合分けし、条件を満たす塗り方を数える。

立方体の6面を、互いに向かい合う面どうしの3組に分ける。異なる組に属する2面は必ず辺を共有するので、各組で使う色は、別の組で使う色とはすべて異ならなければならない。一方、同じ組の2面は辺を共有しないため、同じ色でも異なる色でもよい。
3組のうち、2面に異なる色を塗る組がちょうどj組あるとする。このとき必要な異なる色の数は$(3-j)+2j=3+j$個である。どの組を異色にするかは${}_{3}\mathrm{C}_{j}$通りあり、組ごとの面は区別されるから、選んだ3+j個の異なる色をそれぞれの面または組に割り当てる方法は$(n)_{3+j}=n(n-1)\cdots(n-3-j+1)$通りである。したがって、条件を満たす塗り方の総数は$$N_n=\sum_{j=0}^{3}{}_{3}\mathrm{C}_{j}(n)_{3+j}.$$
(1) $n=4$では、4色を超える色を使う項は0となるので、$j=0,1$だけを数えればよい。$$N_4=(4)_3+{}_{3}\mathrm{C}_{1}(4)_4=4\cdot3\cdot2+3(4\cdot3\cdot2\cdot1)=24+72=96.$$全塗り方は$4^6$通りで、いずれも同様に確からしい。よって$$p_4=\frac{96}{4^6}=\frac{96}{4096}=\frac{3}{128}.$$
(2) 全塗り方の総数は$n^6$である。上の式でj=3の項は$(n)_6$であり、これを$n^6$で割った値は$$\frac{(n)_6}{n^6}=\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)\cdots\left(1-\frac5n\right)\longrightarrow1.$$一方、j=0,1,2の各項は次数がそれぞれ3,4,5の多項式なので、$n^6$で割ると0に収束する。したがって$$\lim_{n\to\infty}p_n=1.$$