4東北大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。$f(t)=g(t)$ かつ $f'(t)=g'(t)$ であり、
$$f'(x)=\dfrac{n}{x},\qquad g'(x)=anx^{n-1}$$
だから、接線の傾きの一致より $at^n=1$。これを共有点の条件に代入すると $n\log t=1$ なので
$$t=e^{1/n},\qquad a=t^{-n}=\dfrac1e.$$

(2)

$f(x)$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、$g(x)$ は $x=0$ で $x$ 軸と交わる。接点は $t=e^{1/n}>1$ である。したがって囲まれた部分の面積は、$0\leqq x\leqq1$ では $g$ と $x$ 軸の間、$1\leqq x\leqq t$ では $g$ と $f$ の間の面積の和である。
$1\leqq x\leqq t$ の範囲で $s=n\log x$ と置けば $0\leqq s\leqq1$ であり、
$$g(x)-f(x)=e^{s-1}-s.$$
この差の $s$ による導関数は $e^{s-1}-1\leqq0$。また $s=1$ で差は0だから、$0\leqq s\leqq1$ では $g(x)-f(x)\geqq0$。よってこの区間では $g$ が上側、$f$ が下側であり、次の積分の上下関係が正当化される。
$$\begin{aligned} S_n&=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{e}\,dx+\displaystyle\int_1^t\left(\dfrac{x^n}{e}-n\log x\right)dx\\ &=\dfrac1e\displaystyle\int_0^t x^n\,dx-n\displaystyle\int_1^t\log x\,dx\\ &=\dfrac{t}{n+1}-n\left[t\log t-t+1\right]\\ &=\dfrac{t}{n+1}-n\left[\dfrac{t}{n}-t+1\right] =\dfrac{n^2}{n+1}t-n. \end{aligned}$$$$S_n={\int }_0^1\frac{x^n}{e}dx+{\int }_1^t\left(\frac{x^n}{e}-n\log x\right)dx$$$$=\frac{1}{e}{\int }_0^t{x}^{n}dx-n{\int }_1^t\log xdx$$$$=\frac{t}{n+1}-n\left[t\log t-t+1\right]$$$$=\frac{t}{n+1}-n\left[\frac{t}{n}-t+1\right]=\frac{n^2}{n+1}t-n.$$
よって $t=e^{1/n}$ を代入して
$$S_n=\dfrac{n^2}{n+1}e^{1/n}-n.$$

(3)

$u=\dfrac{1}{n}$ とおくと
$$S_n=\dfrac{e^u-(1+u)}{u(1+u)} =\dfrac{\dfrac{e^u-1}{u}-1}{1+u}.$$
指数関数の微分係数から $\displaystyle\lim_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}=1$ であるため、
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=0.$$