3京都大学 2024年 数学 第3問解答・解説

大問3

$O,A,B,C$ は同一平面上にないので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。これらを座標軸の基底として
$$O=(0,0,0),\quad A=(1,0,0),\quad B=(0,1,0),\quad C=(0,0,1)$$
とおく。この座標系では
$$P=\left(\frac12,0,0\right),\quad Q=\left(\frac12,\frac12,0\right),\quad X=(0,0,x),\quad Y=(0,1-y,y).$$
従って、直線 $PX$ および $QY$ の方向ベクトルはそれぞれ
$$\vec{u}=\overrightarrow{PX}=\left(-\frac12,0,x\right),\qquad \vec{v}=\overrightarrow{QY}=\left(-\frac12,\frac12-y,y\right),$$
また $\overrightarrow{PQ}=(0,\frac12,0)$ である。

2直線 $PX$、$QY$ が同一平面上にあるかどうかを、成分の計算で調べる。$\vec{u}$、$\vec{v}$ はそれぞれの方向ベクトルである。

(i) $x\ne y$ のとき
2直線が平行であると仮定すると、$\vec{v}=\lambda\vec{u}$ と書ける。第1成分を比べると $-\frac12=-\frac{\lambda}{2}$ より $\lambda=1$ である。このとき第3成分から $y=x$ となり、$x\ne y$ に反する。よって2直線は平行ではない。
2直線が交わると仮定すると、$\overrightarrow{OP}+s\vec{u}=\overrightarrow{OQ}+t\vec{v}$ を満たす実数 $s,t$ があり、$s\vec{u}-t\vec{v}=\overrightarrow{PQ}=\left(0,\frac12,0\right)$ となる。成分を比べると
$$s=t,\qquad -t\left(\frac12-y\right)=\frac12,\qquad t(x-y)=0$$
である。$x\ne y$ より $t=0$ となり、第2式は $0=\frac12$ となって矛盾する。よって2直線は交わらない。
以上より、2直線は平行でも交わらないので、ねじれの位置にある。

(ii) $x=y$ のとき
$y=\frac12$ ならば $\vec{u}=\vec{v}$ なので、2直線は平行であり、同一平面上にある。
$y\ne\frac12$ ならば、$s=t=\dfrac{1}{2y-1}$ とすると上の式がすべて成り立つので、2直線は交わり、同一平面上にある。

したがって、2直線がねじれの位置にある必要十分条件は
$$\boxed{x\ne y}.$$