2富山大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$e$ を自然対数の底として、$f(x)=x^{2}e^{-\dfrac{x}{2}}$ $(x\geqq 0)$ を考える。次の問いに答えよ。ただし、正の整数 $n$ に対して、$\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{n}e^{-\dfrac{x}{2}}=0$ であることは用いてよい。

(1) 関数 $y=f(x)$ の増減、およびグラフの凹凸を調べ、グラフをかけ。また、変曲点が2つ以上あれば、それらの $y$ 座標の大小関係も調べよ。ただし、$2<e<3$ であることを用いてもよい。

(2) 不定積分 $\displaystyle\int f(x)\,dx$ を求めよ。

(3) $a$ を正の実数とする。$xy$ 平面において、$0\leqq y\leqq f(x)$、$0\leqq x\leqq a$ を満たす部分の面積を $S(a)$ とするとき、$S(a)$ を $a$ の式で表せ。

(4) (3) の $S(a)$ に対して、$\displaystyle\lim_{a\to\infty} S(a)$ を求めよ。