2山口大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) $f'(x)=e^x>0$ で、$f$ の値域は $y>-1$。$y=e^x-1$ を解いて
$$f^{-1}(x)=\log(x+1)\qquad(x>-1).$$

(2) $x>-1$ で部分積分すると
$$\int f^{-1}(x)\,dx=\int\log(x+1)\,dx=(x+1)\log(x+1)-x+C.$$

(3) 定義式と(2)を使うと $g'(x)=\log(x+1)-k$。よって臨界点は $x=e^k-1>0$。$g'$ はその前で負、その後で正である。また定義式へ代入すると $g(e^k-1)=0$。したがって最小値は $0$、そのとき $x=e^k-1$。

指数関数の単調性から逆関数を求め、部分積分を適用する。最後は導関数の符号変化と最小点での値を確かめる。