2京都大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$$w=z-(4+3i),\qquad u=\dfrac{x}{2},\qquad v=\dfrac{y-(8+6i)}{2}$$
とおくと、$w=u+v$、$|u|\leqq1$、$|v|=\dfrac{3}{2}$ である。三角不等式と逆向きの三角不等式から
$$|w|\leqq |u|+|v|\leqq\dfrac{5}{2}, \qquad |w|\geqq |v|-|u|\geqq\dfrac{1}{2}.$$
従って、$z$ の動く範囲は、中心 $4+3i$、内半径 $\dfrac{1}{2}$、外半径 $\dfrac{5}{2}$ の円環に含まれる。

逆に、$\dfrac{1}{2}\leqq|w|\leqq\dfrac{5}{2}$ を満たす任意の $w$ に対し、$w\neq0$ なので
$$v=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{w}{|w|},\qquad u=w-v$$
と選べる。このとき $|v|=\dfrac{3}{2}$、$|u|=\left||w|-\dfrac{3}{2}\right|\leqq1$。よって $x=2u$、$y=8+6i+2v$ とすれば与えられた条件を満たし、$z=\dfrac{x+y}{2}=4+3i+w$ となる。したがって領域は
$$\dfrac{1}{2}\leqq|z-(4+3i)|\leqq\dfrac{5}{2}$$
で表される閉円環である。境界を含むが、円周自体の面積は 0 なので、面積は
$$\pi\left\{\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right\}=6\pi.$$