6京都大学 2024年 数学 第6問解答・解説

以下では $n\geqq2$ とする。$n=1$ の場合は個数が 1 ずれるだけで、極限には影響しない。
$c=\log_2 10$（したがって $c>0$）とする。$z=2^{\sqrt{k}}$ とおくと、整数部分が $n$ 桁である条件は $10^{n-1}\leqq z<10^n$ である。指数関数 $2^x$ は増加するから、これは $c(n-1)\leqq\sqrt{k}<cn$、すなわち $c^2(n-1)^2\leqq k<c^2n^2$ と同値である。$c^2(n-1)^2\leqq k<c^2n^2$ を満たす整数 $k$ の個数を $N_n$ とすると、整数は 1 ずつ並ぶので、$N_n$ は区間の長さ $c^2n^2-c^2(n-1)^2$ との差が 1 より小さい。
さらに、最高位の数字が $1$ である条件は $10^{n-1}\leqq z<2\cdot10^{n-1}$ である。よって $c(n-1)\leqq\sqrt{k}<c(n-1)+1$ となり、
同様に、$c^2(n-1)^2\leqq k<(c(n-1)+1)^2$ を満たす整数 $k$ の個数を $L_n$ とすると、$L_n$ は区間の長さ $\bigl(c(n-1)+1\bigr)^2-c^2(n-1)^2=2c(n-1)+1$ との差が 1 より小さい。
よって、ある $|\varepsilon_n|<1,\ |\eta_n|<1$ を満たす数 $\varepsilon_n,\eta_n$ により
$$N_n=c^2(2n-1)+\varepsilon_n,\qquad L_n=2c(n-1)+1+\eta_n$$
と書ける。したがって $N_n/n\to2c^2$、$L_n/n\to2c$ となる。$2c^2>0$ より、
$$\lim_{n\to\infty}\frac{L_n}{N_n}=\frac{2c}{2c^2}=\frac1{\log_2 10}=\log_{10}2.$$