III杏林大学 2024年 数学 第III問解答・解説

(a) 極形式で表すと
$$\alpha=2e^{i\pi/4},\qquad \beta=e^{i\pi/3},\qquad \gamma=\frac12e^{i\pi/12}.$$
よって $\gamma$ の実部と虚部は
$$s=\frac12\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{8},\qquad t=\frac12\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{8},$$
また $|\gamma|=1/2$, $\arg\gamma=\pi/12$ である。

直線 $OB$ の方向角は $\pi/3$ だから、その直線に関する対称移動は複素数 $w$ を $e^{2\pi i/3}\bar w$ に移す。したがって
$$\delta=e^{2\pi i/3}\bar\alpha=2e^{i5\pi/12} =\alpha e^{i\pi/6}=\alpha\frac{\sqrt3+i}{2}.$$
さらに
$$\delta-\alpha=2\left(e^{i5\pi/12}-e^{i3\pi/12}\right) =4\sin\frac{\pi}{12}\,e^{i5\pi/6},$$
ゆえに
$$\frac{\delta-\alpha}{\beta}=4\sin\frac{\pi}{12}\,e^{i\pi/2} \quad\text{より}\quad \arg\frac{\delta-\alpha}{\beta}=\frac{\pi}{2}.$$

(b) $\arg(\gamma^n)=n\pi/12$ であるから、$\gamma^n$ が純虚数となる条件は $n\pi/12=\pi/2+k\pi$（整数 $k$）である。最小の自然数は $n=6$。また $|\gamma^{-n}|=2^n$ で、$2^{10}=1024<2024<2048=2^{11}$ より条件を満たす最小の $n$ は $11$ である。

(c) 直線 $OA$ の方向角は $\pi/4$ なので、これに関する対称点は
$$\mathring z_n=e^{i\pi/2}\bar z_n=i\bar z_n$$
である。$u_n=e^{-i\pi/4}z_n=a_n+ib_n$ とおくと、対称点に対応する回転後の複素数は $\bar u_n$ であり、漸化式は
$$u_{n+1}=u_n+\gamma(\bar u_n-u_n)$$
となる。$\gamma=s+it$ および $\bar u_n-u_n=-2ib_n$ を用いて実部・虚部を比較すると
$$a_{n+1}=a_n+2tb_n,\qquad b_{n+1}=(1-2s)b_n.$$
初項は $u_1=e^{-i\pi/4}\beta=e^{i\pi/12}$ だから
$$a_1=\cos\frac{\pi}{12},\qquad b_1=\sin\frac{\pi}{12}>0.$$
また $1-2s=1-\cos(\pi/12)$ は $0$ と $1$ の間にあるので、全ての $n$ で $b_n>0$ である。各増分は
$$z_{n+1}-z_n=e^{i\pi/4}(u_{n+1}-u_n) =b_n e^{i\pi/4}(2t-2is)=b_n e^{-i\pi/6}.$$
従って全ての $z_n$ は方向角 $-\pi/6$ の同じ直線上にあり、その直線と実軸との角は $\pi/6$ である。さらに $a_n\geqq a_1>0$, $0<b_n\leqq b_1$ だから、$0<b_n/a_n\leqq b_1/a_1=\tan(\pi/12)$ である。したがって $0<\arg u_n\leqq\pi/12$, すなわち $\pi/4<\arg z_n\leqq\pi/3$ である。よって反射点の偏角は $\pi/2-\arg z_n$ となり、
$$\arg z_n+\arg\mathring z_n=\frac{\pi}{2}.$$

反射の式を漸化式に代入すると
$$\mathring z_{n+1}=i\overline{z_{n+1}} =\mathring z_n+i\bar\gamma\bigl(\overline{\mathring z_n}-\bar z_n\bigr) =\mathring z_n+\bar\gamma(z_n-\mathring z_n),$$
ここで $\overline{\mathring z_n}-\bar z_n=-i(z_n-\mathring z_n)$ を用いた。また
$$|\mathring z_n-z_n|=|\bar u_n-u_n|=2b_n$$
なので、$|\mathring z_n-z_n|$ は公比 $1-2s$ の等比数列であり、その極限は $0$ である。

$b_n=(1-2s)^{n-1}b_1$ より $b_n\to0$。一方、$a_n$ は増加し、
$$\lim_{n\to\infty}a_n =a_1+2t\sum_{k=1}^{\infty}b_k =\cos\frac{\pi}{12}+\frac{\sin^2(\pi/12)}{\cos(\pi/12)} =\frac{1}{\cos(\pi/12)}=\frac{1}{2s}.$$
従って $u_n$ は正の実数 $1/(2s)$ に収束し、
$$\lim_{n\to\infty}\arg z_n=\frac{\pi}{4},\qquad \lim_{n\to\infty}|z_n|=\frac{1}{2s}.$$