3奈良県立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

絶対値の2乗を整数二平方和として列挙する。積のノルムと大小関係で因子のノルムを限定し、各候補の実現例を明示したうえで正の因子を持つ積を調べる。

(1) ガウス整数を$a+bi$（$a,b$は整数）とすると、$|a+bi|^2=a^2+b^2$である。16以下で使う平方数は$0,1,4,9,16$であり、これらの二つの和を16以下で列挙すると、異なる値は
$$0,1,2,4,5,8,9,10,13,16$$
の10個である。したがって、これが小さい方からの10個である。

(2) $N(u)=|u|^2$とおく。$zw=6$より$z,w\neq0$、また$N(z)N(w)=36$である。$|z|\leqq|w|$から$N(z)\leqq N(w)$となるので、$N(z)^2\leqq36$、すなわち$N(z)\leqq6$である。$N(z)$は36の正の約数だから、候補は$1,2,3,4,6$である。この範囲の平方数は$0,1,4$なので、$3$と$6$は二つの整数の平方和にならない。よって候補のノルム対は$(N(z),N(w))=(1,36),(2,18),(4,9)$だけである。しかも
$$6=1\cdot6=(1+i)(3-3i)=2\cdot3$$
であり、これらは順に三つのノルム対を実現する。したがって
$$(|z|,|w|)=(1,6),(\sqrt{2},3\sqrt{2}),(2,3)$$
である。

(3) (2)のうちノルム対$(1,36)$では各因子は$\pm1,\pm i$および$\pm6,\pm6i$、$(4,9)$では$\pm2,\pm2i$および$\pm3,\pm3i$に限られ、いずれも実部と虚部がともに正となる因子を含まない。残る$(2,18)$ではノルム2の因子は$\pm1\pm i$、ノルム18の因子は$\pm3\pm3i$である。この中で正の因子はそれぞれ$1+i$と$3+3i$だけである。各因子に対応する相手を積が6となるように決めると
$$6=(1+i)(3-3i),\qquad 6=(1-i)(3+3i)$$
となる。前者では$1+i$、後者では$3+3i$が正であり、積の順序だけの違いでもない。