4群馬大学 2025年 数学 第4問解答・解説

0 でない複素数を $\alpha=x+yi$ とおく。

(1)

各辺の長さは
$$\mathrm{AB}=|\alpha^{2}-\alpha|=|\alpha|\,|\alpha-1|,\qquad \mathrm{AC}=|-2\alpha|=2|\alpha|,\qquad \mathrm{BC}=|\alpha^{2}+\alpha|=|\alpha|\,|\alpha+1|.$$
$|\alpha|\ne0$ なので、三角形 $\mathrm{ABC}$ が正三角形であるための条件は
$$|\alpha-1|=|\alpha+1|=2$$
である。まず最初の二つの絶対値を等しくすると
$$(x-1)^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}$$
より $x=0$ である。さらに $|\alpha-1|=2$ に代入して $1+y^{2}=4$、すなわち $y=\pm\sqrt{3}$ を得る。これらでは三辺がいずれも $2\sqrt{3}$ となるから、答えは
$$\alpha=\pm\sqrt{3}\,i.$$

(2)

$\alpha\ne0$ より $\mathrm{A}\ne\mathrm{C}$ である。複素数平面で $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ が一直線上にあることは、$\dfrac{\mathrm{B}-\mathrm{A}}{\mathrm{C}-\mathrm{A}}$（点を表す複素数の差の商）が実数であることと同値である。ここでは
$$\dfrac{\alpha^{2}-\alpha}{-\alpha-\alpha}=\dfrac{\alpha^{2}-\alpha}{-2\alpha}=\dfrac{1-\alpha}{2}$$
である。したがって、これが実数ならば $\alpha$ の虚部は 0、すなわち $\alpha$ は実数である。逆に $\alpha$ が実数ならば $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ は実軸上にあるので、一直線上にある。

(3)

$\rho=x^{2}+y^{2}>0$ とおくと、各点の座標は
$$\mathrm{A}=(x,\,y),\qquad \mathrm{B}=(-2xy,\ x^{2}-y^{2}),\qquad \mathrm{C}=\left(-\dfrac{x}{\rho},\ \dfrac{y}{\rho}\right)$$
となる。まず $x=0$ なら $\alpha\ne0$ なので三点の実部はすべて 0 であり、三点は虚軸上にある。

次に $x\ne0$ とする。$\mathrm{C}-\mathrm{A}$ の実部は $-x\dfrac{1+\rho}{\rho}\ne0$ なので、直線 $\mathrm{AC}$ は垂直ではない。$\mathrm{B}-\mathrm{A}$ の実部は $-x(2y+1)$ である。もし $2y+1=0$ なら、$\mathrm{B}-\mathrm{A}$ の虚部は $x^{2}+\dfrac{1}{4}>0$ だから直線 $\mathrm{AB}$ は垂直となり、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ は一直線上にない。よって一直線上にある場合は $2y+1\ne0$ であり、二直線の傾きを等しくできる。
$$m_{\mathrm{AB}}=\dfrac{x^{2}-y^{2}-y}{-x(2y+1)},\qquad m_{\mathrm{AC}}=\dfrac{y(\rho-1)}{x(\rho+1)}.$$
これらが等しい条件を整理すると
$$(1+\rho)(x^{2}-y^{2}-y)+y(\rho-1)(2y+1)=0 \quad\text{すなわち}\quad \rho^{2}+x^{2}-3y^{2}-2y=0.$$
左辺は
$$\rho^{2}+x^{2}-3y^{2}-2y=(\rho-2y)(\rho+2y+1)$$
と因数分解できる。$x\ne0$ のとき $\rho+2y+1=x^{2}+(y+1)^{2}>0$ なので、条件は $\rho=2y$、すなわち
$$x^{2}+(y-1)^{2}=1$$
となる。逆にこの円周上で $x\ne0$ なら傾きが等しく、三点は一直線上にある。以上より、求める範囲は、原点を除く虚軸と、原点を除く中心 $i$、半径 1 の円周との和集合である。

図の円周は $|\alpha-i|=1$ を表し、虚軸との交点は $0$ と $2i$ である。原点は $\alpha\ne0$ の条件により除き、円の内部は含まない。