3京都大学 2022年 数学 第3問解答・解説

整式の差を用いて最大公約数を6との最大公約数に帰着し、nの6での剰余で場合分けする。

$x=n^2$ とおくと、次の2つの等式が成り立つ。
$$n^4+2=(n^2-2)(n^2+2)+6,$$
$$n^6+2=(n^4-2n^2+4)(n^2+2)-6.$$
したがって、$n^2+2$ と $n^4+2$ の両方を割る整数は $6$ も割る。また、$n^2+2$ と $6$ の両方を割る整数は上の第1式から $n^4+2$ を割り、第2式から $n^6+2$ も割る。よって
$$A_n=n^2+2\text{ と }6\text{ の最大公約数}.$$

$n$ を6で割った余りごとに $n^2+2$ を調べると、
$$\begin{array}{c|rrrrrr} n\bmod6&0&1&2&3&4&5\\\hline n^2+2\bmod6&2&3&0&5&0&3\\ A_n&2&3&6&1&6&3 \end{array}$$
である。したがって
$$A_n=\begin{cases} 2&(n\equiv0\pmod6),\\ 3&(n\equiv1,5\pmod6),\\ 6&(n\equiv2,4\pmod6),\\ 1&(n\equiv3\pmod6). \end{cases}$$