2京都大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$n\geqq5$ とし、$1$ から $n$ までの番号から異なる3枚を同時に選ぶ。小さい順にその番号を $X<Y<Z$ とする。

条件 $Y-X\geqq2$, $Z-Y\geqq2$ を満たす組と、$1$ から $n-2$ までから選ぶ3個の数 $a<b<c$ との間に
$$a=X,\qquad b=Y-1,\qquad c=Z-2$$
という対応を考える。条件を満たす $X,Y,Z$ なら
$$1\leqq X<Y-1<Z-2\leqq n-2$$
である。逆に $1\leqq a<b<c\leqq n-2$ から
$$X=a,\qquad Y=b+1,\qquad Z=c+2$$
と戻せば、$Y-X=b+1-a\geqq2$ および $Z-Y=c-b+1\geqq2$ が成り立つ。したがってこの対応では、どちらの組からも他方の組がただ一通りに定まり、条件を満たす組の数は
$${}_{n-2}\mathrm{C}_{3}$$
である。

全ての3枚の選び方は ${}_{n}\mathrm{C}_{3}$ 通りなので、求める確率は
$$\boxed{\frac{{}_{n-2}\mathrm{C}_{3}}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}} =\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}}.$$