2東海大学 2022年 数学 第2問解答・解説

約数逆数和を素因数冪ごとの有限等比和に分解し、素因数からの下界と既約分数の分母で最小解を絞る。

自然数$a$の正の約数の逆数の和を$f(a)$とする。互いに素な$u,v$について、$uv$の各約数は一意に$de$（$d$ は $u$ の約数、$e$ は $v$ の約数）と表せるから、$f(uv)=f(u)f(v)$。また、素数$p$、正整数$e$に対して
$$f(p^e)=1+\dfrac1p+\cdots+\dfrac1{p^e}=\dfrac{1-p^{-(e+1)}}{1-p^{-1}}.$$

(1)

$28=2^2\cdot7$、$6000=2^4\cdot3\cdot5^3$より
$$f(28)=\left(1+\dfrac12+\dfrac14\right)\left(1+\dfrac17\right)=2,$$
$$f(6000)=\dfrac{31}{16}\cdot\dfrac43\cdot\dfrac{156}{125}=\dfrac{403}{125}.$$

(2)

有限等比和から
$$f(2^n)=2-\dfrac1{2^n},\qquad f(6^n)=f(2^n)f(3^n)=\left(2-\dfrac1{2^n}\right)\left(\dfrac32-\dfrac1{2\cdot3^n}\right).$$

(3)

合成数$a\leqq300$の最大の素因数を$p$とすると$2p\leqq a\leqq300$なので$p\leqq149$。$1,p$は$a$の約数だから$f(a)\geqq1+\dfrac{1}{p}\geqq1+\dfrac{1}{149}>1+\dfrac{1}{293}$。一方、素数$a$なら$f(a)=1+\dfrac{1}{a}$である。$293$は$\sqrt{293}<18$以下の素数$2,3,5,7,11,13,17$のいずれでも割れず、素数であり、$294$から$300$まではすべて合成数である。したがって範囲内の最大の素数は$293$で、最小値は$f(293)=\dfrac{294}{293}$。

(4)

$f(a)$は、$a$の正の約数の和を$a$で割った値であり、$\dfrac{60}{29}$は既約だから$a$ は $29$ で割り切れる。$a=29^e m$、$m$ は $29$ で割り切れないとする。$e\geqq2$なら$a\geqq841$。$e=1$なら$f(a)=f(29)f(m)=\dfrac{30}{29}f(m)$なので$f(m)=2$。$m\leqq28$では素数冪について$f(m)<\dfrac{p}{p-1}\leqq2$。素数冪でない合成数の値を調べると
$$\begin{array}{c|rrrrrr} m&6&10&12&14&15&18\\\hline f(m)&2&\dfrac{9}{5}&\dfrac{7}{3}&\dfrac{12}{7}&\dfrac{8}{5}&\dfrac{13}{6}\\[2pt] m&20&21&22&24&26&28\\\hline f(m)&\dfrac{21}{10}&\dfrac{32}{21}&\dfrac{18}{11}&\dfrac{5}{2}&\dfrac{21}{13}&2 \end{array}$$
となる。よって$f(m)=2$となる最初の二つは$m=6,28$。対応する$a$は$174,812$で、いずれも$841$未満だから、求める二つである。

(5)

315 と 143 は互いに素なので、$f(a)=\dfrac{315}{143}$ なら$a$ は $143$ で割り切れる。$a=143m<1144$なら$m\leqq7$で$m$ と $143$ は互いに素。したがって
$$f(a)=f(11)f(13)f(m)=\dfrac{168}{143}f(m)$$
より$f(m)=\dfrac{15}{8}$が必要である。しかし$m=1,2,\ldots,7$の値は$1,\,\dfrac{3}{2},\,\dfrac{4}{3},\,\dfrac{7}{4},\,\dfrac{6}{5},\,2,\,\dfrac{8}{7}$で、いずれも$\dfrac{15}{8}$でない。$f(8)=\dfrac{15}{8}$なので最小の解は$a=143\cdot8=1144$。