4山口大学 2022年 数学 第4問解答・解説

整数全体を定義域とし、整数を値にとる関数 $f(n)$ が、次の条件1、2を満たしているとする。
条件1 $f(0)=0$
条件2 任意の整数 $n$ に対し、$f(3+n)=f(3-n)$ かつ $f(7+n)=f(7-n)$ が成り立つ。
整数全体を定義域とする関数 $g(n),h(n)$ をそれぞれ、$g(n)=6-n,\ h(n)=14-n$ とするとき、次の問いに答えなさい。

(1) 合成関数 $(h\circ g)(n)$ と $(g\circ h)(n)$ を求めなさい。

(2) 任意の整数 $n$ に対し、2つの等式 $(f\circ g)(n)=f(n)$ と $(f\circ h)(n)=f(n)$ が成り立つことを示しなさい。

(3) $f(2022)=0$ であることを示しなさい。

(4) 集合 $A$ を、関数 $f(n)$ のとりうる値全体の集合、すなわち、$A=\{f(n)\mid n\text{ は整数}\}$ とする。このとき、集合 $A$ の要素の個数は5以下であることを示しなさい。